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Analyse fonctionnelle - TD n°1 - exo 4
Bonsoir,
Allez, je me lance dans l'exo 4 :
On note l'espace vectoriel des suites bornées de
,
le sous espace vectoriel de
des suites convergentes, et
le sous espace vectoriel de
des suites convergentes vers 0.
Pour on note
.
1- Montrer que est un espace de Banach non séparable.
2- Montrer que et
sont 2 espaces fermés de
.
3- Pour chaque , on pose
. On associe à chaque
la suite
définie par
) et
.
a) Montrer que
b) Montrer que T est un homéomorphisme linéaire de sur
.
4- On note le sous-espace vectoriel de
des suites égales à 0 à partir d'un certain rang.
a) Montrer que est un sous-espace dense de
.
b) En déduire que est séparable puis que
aussi.
5- On note, pour chaque entier n, um
est le symbole de Kronecker.
Montrer que pour chaque , on a
.
J'essaye de trouver la question 1 
Re,
tu as essayé? Prends une suite de Cauchy dans ton espace,attention t'as une suite de suite et montre qu'elle converge,le truc est de se ramener à R par les composantes.
La non séparabilité c'est un peu vache sans indications,il faut se servir du lemme suivant dans un espace séparable E toute famille d'ouverts deux à deux disjoints est au plus dénombrable.
Effectivement soit A une famille d'ouverts deux à deux disjoints de E.
Soit (xn) la famille dénombrable dense de E.
Soit O un ouvert de A et n(0) le plus petit entier n tel que x_n(0) soit dans A(existe par densité).
On considère l'application de A dans N qui à 0 associe n(0),elle est injective(car les ouverts sont disjoints) donc A est dénombrable.
Maintenant pour montrer que notre espace est non séparable,on peut exhiber une famille d'ouverts deux à deux disjoints non dénombrable.
Pense aux suites à support dans {0,1}.
Merci Cauchy je vais essayer de réfléchir à ça dans la soirée ou dans la semaine, mais je crois que je vais bien galérer 
Je vois pas trop pour montrer que c'est un Banach, déjà prendre une suite de suite je sais même pas comment on écrit ça.
Help please
Salut Rouliane
Pour prendre une suite de suites, il fait prendre deux indices :
la suite sera notée et les termes de la suite seront alors notés
.
Kaiser
En fait, pour montrer que c'est un banach, la démo sera sensiblement la même que pour l'ensemble des fonctions continues sur [0,1].
Kaiser
Ok, merci.
Il va falloir encore "s'embeter" à définir la limite de la suite, montrer qu'elle est dans E, etc .. ?
Quand on veut montrer que c'est un Banch c'est jamais plus rapide que ça ?
Disons qu'on a toujours besoin de refaire les 3 étapes ?
oui !
sauf bien sûr, si c'est un sous-espace fermé d'un Banach connu ou s'il se relie facilement à un Banach connu (par exemple, s'il existe un isomorphisme entre cet espace et un Banach).
Mais en fait, ici, ça va être moins long de montrer que c'est un Banach que dans le cas des fonctions continues.
Kaiser
bien sûr que je parlais d'isomorphisme, j'oubliais de préciser que celui ci doit être continu.
Kaiser
ok merci pour les précisions.
Je considère donc une suite de Cauchy de
On a par hypothèse.
étant complet, cette suite converge dans
, donc on peut définir sa limite, que l'on note
.
J'ai des doutes sur les notations, mais en gros c'est ça ?
salut Cauchy ! 
Rouliane > ce sont les indices supérieurs qui sont différents.
Les indices inférieurs sont les mêmes lorsque tu fais la différence.
Kaiser
oui sauf que lorsque tu mets la norme, n'écris pas l'indice n car est un réel : note plutôt
pour éviter les confusions.
Kaiser
d'accord, je vois le souci, de la même façon qu'on note
Il faut que je montre que cette limite est bornée.
est une suite de Cauchy donc elle est bornée.
Il existe donc M tel que pour tout p, .
On a donc , et ceci étant vrai pour tout p, on a
d'où
.
C'est bien ça ?
Juste un petit détail : je viens de retrouver une feuille où ils démontrent la complétude de l'espace des fonctions bornées, et y'a une ligne que je comprends pas : " pour
donc
"
je ne comprends pas comment on obtient l'inégalité après le donc. J'essaye d'écrire l'inégalité triangulaire mais je vois pas 
oui ce que tu as fait est correct.
Pour l'histoire des fonctions bornées, il faut juste utiliser l'inégalité triangulaire de gauche.
Kaiser
Ah oui évidemment !
Je poste juste la fin de la complétude au cas où y'aurait une erreur puis je file me coucher.
pour montrer que la suite converge bien vers la limite, on a :
.
Ceci étant vrai pour tout p et q > N, on a, en passant à la limite quand q tend vers +oo : et alors
ce qui montre la convergence de la suite de Cauchy vers la limite.
Finalement l'espace est bien complet.
Bonne nuit à tous ! et merci à vous !
Je laisse kaiser vu qu'il a commencé et que en fait j'ai pas suivi 
Chelsea c'est pas un club pour les amoureux du football,et demain allez Milan la on va voir du football léché et pas des balles en l'air 
oui, la première question est réglée.
Mais comme le souligne Cauchy, la séparabilité n'est absolument pas triviale.
Sinon, Rouliane, pour la suite de l'exo, tu as jeté un oeil ?
Kaiser
je suis prof par internet ;
ecoute qd tu as un exos;
tu vois apparaitre qd tu lis l' énoncé une liste de symboles et de symboles regroupés ,numérote les ;1 , 2 ,3 ,4 5 ,6
ils vnont réapparaitre dans un certain ordre dans la réponse;
dis toi que s 'ils ne réapparaissent pas ,cest cette fois 1' ,2' ,3', 4'
qui vont réapparaitre ou une combinaison avec les précédents ,
si tu appelles 1' le transformé de 1 cest à dire un symbole qui nest pas celui que tu regardes mais un autre qui lui ressemble plus grand ou les symboles précédents s'y retrouvent par exemple au lieu de n tu trouves n²
(cest qu'on appelle qq chose qui ressemble ).
ca marche comme ca en sup et encore en spe (même après)
je donne des cours gratuits aux sup le vendredi
**********
de 17h30 à 19 H.
appelle 1 liste
et 1' liste qui apparait ensuite;
cest le schéma qui réapparait;
schéma,ou symboles groupés ou groupe desymboles...
qd tu attnds et calcules ,tu sais qu'ils réapparaissent;
c'est quoi ce pourrisage de post
Bon j'essaye de me lancer dans la séparabilité je suis pas couché vu que j'y comprends que dalle 
Ah je suis content belle victoire du grand Milan
Tu as compris mon premier post?
Un espace séparable c'est un espace qui contient un sous-ensemble dénombrable dense,ca veut dire que tu peux trouver une suite d'éléments de ton espace avec laquelle tu peux approximer(pour la distance sur ton espace si il est métrique) tous les autres.
J'ai à peu près compris le 1er post, mais ça va signifier quoi ici qu'on peut approximer tous les autres ?
Bien c'était pour imager la densité,ca veut dire que pour tout élément de E il existe un élément de ta suite telle qu'ils soient à distance aussi petite que tu veux.
Et bien à distance d'un élément de ta suite.
J'ai un espace E,je suppose qu'il est séparable,donc j'ai une partie dénombrable dense,c'est pareil que d'avoir une suite (xn) dont l'adhérence est E.
Donc si je me fixe une distance mettons e>0, pour tout élément x de E,je peux trouver un xk tel que d(xk,x)<e.
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