Bonjour !
Si on ne veut pas s'emm... avec la nullité, le signe de la partie réelle, le quadrant utile :
LA formule (qui était au programme des prépas) est la suivante :
Pour un complexe de
l'argument principal (dans l'intervalle
) est
.
Il reste à choisir, lorsque
, entre
pour l'argument.
..........................................................
Citation :
Je viens d'étudier le chapitre sur les complexes et j'ai jamais vu cette propriété.
Un cours correct devrait contenir la démonstration suivante :
Soit
![x=\Re(\frac{z}{|z|})>0,\;y=\Im(\frac{z}{|z|}),\;\theta=\mathrm{arg}(z)\in]-\pi,\pi[](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x=\Re(\frac{z}{|z|})>0,\;y=\Im(\frac{z}{|z|}),\;\theta=\mathrm{arg}(z)\in]-\pi,\pi[)
.
Alors

et

.
On en déduit
![\frac{\theta}2\in\bigl]\frac{-\pi}2,\frac{\pi}2\bigr[=\arctan(\tan\frac{\theta}2)](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\frac{\theta}2\in\bigl]\frac{-\pi}2,\frac{\pi}2\bigr[=\arctan(\tan\frac{\theta}2))
puis la formule donnée (car
=x|z|,\;\Im(z)=y|z|))
.