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Argument

Posté par
Ramanujan 24-03-19 à 01:02

Bonsoir,

Dans mon cours sur les complexes il n'y a aucune formule pour calculer un argument d'un nombre complexe.

Je cherche à exprimer un argument de z=u+iv en utilisant la fonction arctan selon les valeurs de u,v mais je ne vois pas comment procéder.

Posté par
Barneyre : Argument 24-03-19 à 03:34

Bonsoir ,

C'est une plaisanterie ?
si z =a+ib ,  |z|= a²+b²                      on a aussi |z| = z*z

Posté par
Barneyre : Argument 24-03-19 à 03:51

ensuite,  z=(|z|)( a/|z| + ib/|z|)
a/|z| = cos

b/|z| = sin

donc z=|z|(cos + isin)

arg(z) =       et     z=|z| ei

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Argument 24-03-19 à 07:57

Bonjour,
il n'y a aucune formule pour calculer un argument d'un nombre complexe non nul.
Pourquoi utiliser Latex pour écrire u et v ?
z = u +iv avec z 0 et u et v réels.

Poser r = (u2+v2) . Avec z 0 , on a r 0 .

Un argument vérifie cos = u/r et sin = v/r .

Après on s'adapte au contexte

Posté par
alb12re : Argument 24-03-19 à 09:40

salut,

Posté par
malou Webmasterre : Argument 24-03-19 à 10:06

alors, c'est posté en math sup !! j'imagine mal un élève de terminale partir en math sup sans savoir calculer un argument de complexe....

Posté par
matheuxmatoure : Argument 24-03-19 à 10:16

bonjour

déjà faut distinguer le cas où u est nul ( et v pas nul évidemment, comme l'a mentionné Sylvieg

ensuite et dans le cas u0 on remarquera que tan()=v/u

après faut distinguer suivant les quadrants pour exprimer comme un arctangente

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 13:07

Je suis d'accord j'ai compris vos calculs mais c'est au passage de l'arctangente que je bloque avec les différents cas.

Je pense pas qu'en Terminale on voit la formule suivante que je cherche à démontrer :

\arg(u+iv) \equiv \arctan(\dfrac{v}{u}) [2 \pi] si u >0

\arg(u+iv) \equiv \dfrac{\pi}{2} sgn(v)  [2 \pi] si u =0

\arg(u+iv) \equiv \pi + \arctan(\dfrac{v}{u})   [2 \pi] si u <0

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 13:13

Tu as montré 50 fois que

arctan(tan(x)) = x quand u appartient à ]-\pi/2 ; \pi/2[

Et quand x n'appartient pas à cet intervalle, à toi de t'y ramener.
Le cas u = 0 tu peux quand même le deviner à la main non?

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 13:26

Mais je sais rien sur u,v et donc sur \dfrac{v}{u} comment je peux me ramener à l'intervalle ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[

Si u=0 alors  :

z=iv   donc z= |v| \exp(i \dfrac{\pi}{2})
Un argument de z est \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi

Je ne comprends pas le signe de v dans la formule

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 13:33

Ah j'ai compris !

Si v <0 alors z= i v = - i |v| (v est réel donc sa valeur absolue est confondue avec son module)

Or |z| = |v| on obtient : z=-i |z| = |z| \exp(i \pi - i\dfrac{\pi}{2})  

Finalement : z = |z| \exp(- i\dfrac{\pi}{2})

Donc -\dfrac{\pi}{2} est un argument de z quand v<0

Par contre pour les autres avec arctan je vois pas.

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 13:41

Quand u > 0 tu sais que l'argument x est entre -pi/2 et pi/2 donc arctan(tan(x)) = x
Et v/u = tan(x) donc ...

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 13:50

Je ne comprends pas ici comment on peut s'assurer que :

- \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{v}{u} < \dfrac{\pi}{2}

Et je vois pas ce que ça change que u >0 ou u<0

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 14:00

Est ce que j'ai dit que v/u était dans ]-pi/2 ; pi/2[ ?

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 14:29

Je n'ai pas compris la remarque suivante :

"Quand u > 0 tu sais que l'argument x est entre -pi/2 et pi/2 donc arctan(tan(x)) = x "

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 14:35

Quand un complexe z = u + iv d'argument x, est tel que u > 0
Bah un argument x de u est entre ]-pi/2 et pi/2[

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 15:23

Je viens d'étudier le chapitre sur les complexes et j'ai jamais vu cette propriété.

Comment le démontrer ?

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 15:25

https://www.jeuxmaths.fr/cours/trigonometrie-seconde.php

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Argument 24-03-19 à 15:30

Pas d'interprétation géométrique d'un argument dans ton chapitre ?
Quand l'abscisse d'un point est positive, dans quel demi-plan se trouve-t-il ?

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 15:54

Le demi plan \{z \in \C | Re(z) >0 \}

Posté par
luzakre : Argument 24-03-19 à 15:56

Bonjour !
Si on ne veut pas s'emm... avec la nullité, le signe de la partie réelle, le quadrant utile :
LA formule (qui était au programme des prépas) est la suivante :
Pour un complexe de \C\setminus\R_- l'argument principal (dans l'intervalle ]-\pi,\pi[) est
\mathrm{arg}(z)=2\arctan\dfrac{\Im(z)}{\Re(z)+|z|}.

Il reste à choisir, lorsque z\in\R_-^*, entre \pm\pi pour l'argument.

..........................................................

Citation :
Je viens d'étudier le chapitre sur les complexes et j'ai jamais vu cette propriété.

Un cours correct devrait contenir la démonstration suivante :

Soit x=\Re(\frac{z}{|z|})>0,\;y=\Im(\frac{z}{|z|}),\;\theta=\mathrm{arg}(z)\in]-\pi,\pi[.
Alors 1+x=1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}2 et y=\sin\theta=2\sin\frac{\theta}2\,\cos\frac{\theta}2.
On en déduit \frac{\theta}2\in\bigl]\frac{-\pi}2,\frac{\pi}2\bigr[=\arctan(\tan\frac{\theta}2) puis la formule donnée (car \Re(z)=x|z|,\;\Im(z)=y|z|).

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 16:00

Un point M d'affixe z a pour argument toute mesure de l'angle :

\widehat{(\vec{i},\vec{OM})}

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 16:05

et donc les arguments des complexes d'abscisse positive, ils sont comment?

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 16:09

Ok Luzak merci. J'aimerais la démontrer sans la formule.

Soit u >0 on a alors : \cos(\alpha) >0

Soit \alpha \in ]- \dfrac{\pi}{2} + k \pi , \dfrac{\pi}{2} + k \pi [ avec k \in \Z

Il suffit que je prenne k =0 pour me ramener à l'intervalle - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} [[/tex] et  c'est tout ?

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 16:20

Si u<0 alors \cos(\alpha) <0

Et donc \alpha \in ]\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi , \dfrac{3 \pi}{2}+ 2k \pi [

Je ne vois pas comment conclure

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 16:27

Dans le cas u > 0 ça donne quoi finalement t'as pas conclu...

Et dans le cas u < 0, peux tu essayer de te ramener au cas précédent?
(Si z est tel que Re(z) < 0, alors -z est tel que Re(z) > 0 )

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 16:57

On a : \tan(\alpha)= \dfrac{v}{u} avec u = |z| \cos(\alpha) et  v = |z| \sin(\alpha)

Si u >0 alors il existe un angle\alpha appartient à l'intervalle ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[.
\alpha est un argument de z=u+iv

\tan(\alpha)= \dfrac{v}{u} \implies \arctan( \tan(\alpha) ) =\alpha= \arctan(\dfrac{v}{u})

Un argument de z=u+iv est \arctan(\dfrac{v}{u}) mais un argument est défini modulo 2 \pi donc :

\arg(z) \equiv \arctan(\dfrac{v}{u}) [2 \pi]

Je réfléchis pour le cas u<0

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 17:22

En suivant votre indication Lionel :

Pour u < 0  toujours avec z=u+iv alors -z=-u-iv

Un argument de -z est \arctan(\dfrac{v}{u}),  Soit r le module de -z

Mais : z = - (-z) = - (r e^{i\arctan(\dfrac{v}{u})}) = r e^{i(\arctan(\dfrac{v}{u}) + \pi)}

On a bien écrit z sous la forme |z| e^{i \theta} avec \theta \in \R

Donc \arg(z) \equiv \arctan(\dfrac{v}{u}) + \pi [2 \pi]

Posté par
lionel52re : Argument 24-03-19 à 17:28

Oui ou sinon comme z et -z sont symétriques par rapport à lorigine tu rajoutes pi à largument de z pour obtenir-z

Posté par
Ramanujanre : Argument 24-03-19 à 17:30

Ah d'accord merci.


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