Bonjour.

Vaste sujet.
En principe, on regroupe dans un ensemble des objets ayant une caractéristique commune : l'ensemble Q des rationnels, l'ensemble F des fonctions continues de [0,1] vers R, ...
Un ensemble de ce type est dit "amorphe" tant que l'on a pas de loi de composition interne sur cet ensemble.
Alors, par exemple, sur l'ensemble Q, on définit une somme et un produit, de même que sur F.
Un ensemble muni d'une loi interne est appelé un magma.
Ensuite, on essaie de trouver des magmas dont les lois internes ont les mêmes propriétés d'où les notions de groupes, anneaux, corps, ...
Cela répond-il à tes questions ?

A plus RR.

Bonjour raymond,

Ayant déjà croisé karim sur différent topic, je pense qu'il connait toutes les notions que tu lui a présentées, et je pense aussi (sauf erreur) qu'il voudrait savoir à quoi sert "concrêtement" les structures algébriques.

Bonjour infophile et bonne année.

Merci du conseil.

karim : lorsque deux ensembles possèdent la même structure algébrique, les calculs sont les mêmes. Ils ne dépendent plus des objets des ensembles, mais des propriétés des structures.
Ceci permet d'établir des résultats, non au coup par coup en tenant compte des objets, mais globalement, en ne tenant compte que des propriétés des lois de composition.
Par exemple, dans tous les anneaux, l'équation ax + b = 0, a inversible possède une solution et une seule, que ce soit l'anneau Z ou l'anneau M(n,R) des matrices carrées.

A plus RR.

Meilleurs voeux Raymond.

merci raymond,
mais à part ces lois de composition interne, je vois l'utilité de ces ensembles qu'en la borne sup ! ou des fois le prof nous crée des fonctions bizarres entre deux ensembles, il montre que c'est des bijections. Par exemple, dans ce cas que peut on en tirer ?
Pour lui c'est certainement naturel de créer des ensembles.
Un autre exemple: il a voulu démontrer qu'il existe a tel x = a^n
et là il pense à l'ensemble A = {x appartenant à R+/ x< a^n}
Il fait ensuite des études sur cet ensemble pour prouver l'existence. Ca j'ai compris.
Mais sinon si à l'origine j'avais pas penser à ce fameux ensemble A j'aurais pas réussis à m'en sortir.
Donc comment faire pour y penser justement? Dire que l'utilisation d'un ensemble me permettra de résoudre tel ou tel exercice/
Merci encore

karim >> Je pense que c'est le niveau du prof qui fait que ça lui vient tout de suite. Rappelle toi quand tu as abordé le discriminant, les profs te sortaient de tête des trinômes dont les racines tombent juste, et maintenant que tu as assimilés cette notion j'imagine que tu en es capable. Je laisse raymond te répondre comme il convient.

C'est sur que c'est de son niveau, mais leproblème c'est que dans certains exercices, on a recourt à des ensembles qui sont créés de la même manière, tu ne sais pas d'ou ils sortent!!!!
Donc en je cherche à comprendre comment savoir que c'est à tel ou tel moment qu'il faut utiliser les ensembles justement !

Je ne pense pas qu'il y ait de méthodes à proprement parler, il faut voir l'astuce au bon moment. On attend l'avis des spécialistes.

Salut,

D'abord on ne "crée" pas des ensembles, ils existent indépendamment de nous, on  ne fait que leur donner un nom.

À part ça, quand tu dis "on a recours à des ensembles", c'est souvent juste une question de langage. Souvent un ensemble est défini ainsi : on a un "gros" ensemble E et on s'intéresse aux éléments x de E qui vérifient une propriété P(x). On note alors le sous-ensemble de E formé des éléments x de E qui vérifient la propriété P(x).
Quand on dit alors :"soit ", c'est juste une autre façon de dire "soit x un élément (de E) qui vérifie P(x)".

Ok, je comprend ce que tu dis
Mais qu'est ce qu'on peut tirer d'un ensemble, quels sont ses propriétés intéressante, un peu comme la borne sup...
Sinon s'il ne sert à rien il suffirait d'écrire comme tu dis "soit x un élément (de E) qui vérifie P(x)"

d'un ensemble quelconque absoluement rien !


mais un ensemble qui a des propriété, par exemple, si il est munie d'une structure agébrique (groupe, anneau, corps) ou d'une topologie, ou d'une relation d'ordre interessante (l'exemple de la borne sup sur R), alors il va avoir plein de propriété plus ou moins puissante selon l'importance de cette structure.


accésoirement, étudier un ensemble donné peut etre aussi un objectif : par exemple quand on fais du dénombrement, le but est de trouver le cardinal d'un ensemble donné.

Par exemple si tu veux montrer qu'aucun élément x de E ne vérifie P(x), cela revient à montrer que l'ensemble  A={x dans E | P(x)}  est vide. Si tu  veux montrer que tous les éléments x de E vérifient P(x), cela revient à montrer que A=E.

ok donc il faut qu'il ait des propriétés intéressante.
Et en fait une relation d'ordre ou d'equivalence qu'est ce qu'elle a d'intéressant? Pourquoi souvent dans les exos on nous fait prouver qu'un ensemble est munis d'un relation d'ordre ou d'equivalence avant de se lancer dans la suite ?

Salut !

et bien une relation d'ordre ca depend de ces propriétés. je crois qu'il y a pas vraiment grand choses a faire avec une relation d'ordre completement quelconque.

mais par exemple avec une relation d'ordre interessante, on peut construire des objets comme la borne sup de R, qui peut rendre de grand service. ou encore une relation de "bon ordre" ( ie que tous sous ensemble admet un plus petit elements, comme dans N) permet aussi de faire pas mal de choses (dans N, c'est un point important du principe de récurence par exemple)



les relations d'equivalence en revanche sont toute les meme, ce manipule toute de la meme facon. si tu  montré que xRy est une relation d'equivalence, ca veux dire que R ce manipule exactement comme =, et une des application principale est de définir apres des classes d'equivalence (tu verra tous ca plus en detail l'an prochain si tu es en sup).

Si on ne travaille pas dans R mais dans un ensemble A, quel serait l'utilité d'une relation d'ordre alors ? Ou (comme j'ai pas d'exemple sous la main) munir un ensemble d'une relation d'ordre peut servir à quoi ?

Une relation d'ordre, permet d'ordonner un ensemble. Très très util quand on étudie les morphismes. Ca peut simplifier pas mal de choses.
Par exemple, tu peux dans certain cas, trouver une bijection de A dans N ou dans R.
Ainsi la résolution du problème peut être facilité.

Ok ben merci pour tout

(1Schumi1 je ne vois pas ce que tu veux dire)

d'accord je vois l'utilité en gros de quoi il s'agit.
Mais en fait pour intuiter un ensemble, dire qu'il convient, je croi qu'en comprenant comment on peut intuiter celui là je pourrais comprendre ( je l'ai cité plus haut)
"il a voulu démontrer qu'il existe a tel x = a^n
et là il pense à l'ensemble A = {x appartenant à R+/ x< a^n}"

Tu pourrais m'expliquer stp?
Merci

Je ne sais pas il faudrait voir le reste de l'exo et savoir ce que vous aviez le droit d'utiliser dans cet exo