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Calcul d'un terme d'une série de Laurent

Posté par
lacleman 06-06-16 à 09:55

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé de mon exercice:

\text{Soit la couronne}\;C=\begin{Bmatrix} z \in \mathbb{C}\: ;\abs{z}> 1 \end{Bmatrix} \text{la fonction}\; f(z)=\frac{e^{z}}{z^2-1} \text{holomorphe dans C et sa série de Laurent} \sum_{-\infty}^{\infty}{a_kz^k} \text{dans C.} \; \text{Calculer}\;a_1
Pour résoudre cet exercice, j'ai essayé d'exprimer le terme   e^z   et le terme   z^2-1   avec leur série de Taylor en zéro,  simplifier l'expression, puis chercher le terme en z.
Cette méthode est-elle valable?
Dans la correction le prof utilise la formule
a_k=\frac{1}{2\pi*i}\int_{C}{\frac{f(z)dz}{(z-0)^{k+1}}}
Puis résout l'intégrale avec le théorème des résidus.
Mais cette méthode de résolution me parait moins évidente.

Merci d'avance

Posté par
etniopalre : Calcul d'un terme d'une série de Laurent 06-06-16 à 10:28

Comme ta "couronne" ne contient pas 0 , il est inutile de regarder ce qui se passe autour de 0 .


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