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Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:29

J'ai eu le même problème que vous

Même quand je réactualise, je te vois toujours pas, Kaiser ( tu te caches bien dis donc )

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:35

Citation :
Ce que je voulais dire, Kaiser, c'est qu'on a pas besoin de l'hypothèse de domination ici, on a seulement besoin de l'existence et de la continuité de la dérivée partielle par rapport à x.


En fait si, car dans la démo du théorème dans ce cas particulier, on utilise le théorème de convergence dominée en dominant par une constante, non ?

Citation :
Même quand je réactualise, je te vois toujours pas, Kaiser ( tu te caches bien dis donc )


Pourtant, on peut pas me rater !
D'ailleurs, toi non plus je ne te vois pas !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:37

Citation :
En fait si, car dans la démo du théorème dans ce cas particulier, on utilise le théorème de convergence dominée en dominant par une constante, non ?


Dans la démo oui, mais le but d'un théorème c'est pas de refaire sa démo, mais de l'appliquer, non ?

Citation :
D'ailleurs, toi non plus je ne te vois pas !

hé hé

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:40

Cela dit, il m'arrive de me connecter sur l' en dehors de chez moi
et parfois, je ne pouvais pas me voir moi-même !


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:40

Citation :

Dans la démo oui, mais le but d'un théorème c'est pas de refaire sa démo, mais de l'appliquer, non ?

oui, bon OK !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:41

Ben moi je me vois jamais ou presque, même si je suis chez moi .

Est ce que quelqu'un m'a déjà vu en fait ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:44

oui !
Avant, je te voyais tout le temps !
Maintenant, c'est seulement de temps en temps !
donc c'est assez récent !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:50

C'est depuis que j'ai installé le nouvel IE que j'ai des problèmes.

Par exemple, si je ne me connecte pas à l'ile avant jeudi prochain, ben quand je vais me connecter, la page que j'aurai présentera les messages de ce mardi, et il faudra que j'actualise la page pour avoir les messages du jour.
Ca me fait ça avec tous les sites...

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 12:00

En fait, je crois que ce n'est pas un cas isolé ! Il y a réellement des problèmes avec IE !
Regarde ici !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:16

Ok, merci.

Bon be je vais installer Firefox alors ...

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:18

C'est bien mieux FireFox

Le seul truc embêtant c'est quand on insère une balise dans la zone texte, ça fait remonter la barre de défilement.

Merci pour vos précisions et bonne journée

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 12:19

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 12:22

Citation :
C'est bien mieux FireFox


Je confirme !
Le truc que j'aime bien est que si ça plante, en relançant FF, on peut retourner exactement sur les pages où l'on était juste avant !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:23

Ca y'est je dois etre visible maintenant

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 12:24

Citation :
Ca y'est je dois etre visible maintenant


toutafé !

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:25

Et Kaiser t'aurais pas un exo sympa d'analyse à poster abordable niveau lycée ?

En attendant je vais faire de la SVT

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 12:28

Citation :
Et Kaiser t'aurais pas un exo sympa d'analyse à poster abordable niveau lycée ?


Je n'en ai pas en tête, par contre, j'ai eu peu de géométrie si ça t'intéresse !
(la preuve que j'ai en tête n'utilise que des notions de Terminale)

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:31

Oui je veux bien

Tu peux le poster dans Expresso ? Comme ça si d'autres veulent participer (en blanqué) je ne serais pas influencé.

Par contre je ne répondrais pas tout de suite, je vais essayer de remonter en SVT parce que c'est du n'importe quoi

Merci

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:33

Je peux t'en mettre un accessible en terimanel si tu veux, mais je sais pas si c'est difficile ou pas.

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:34

Ok alors allons-y pour un exo niveau terimanel

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 12:37

Tu l'as peut-etre déjà eu à faire, je sais pas.


Soit f \; : \; [a,b] --> \mathbb{R} une fonction continue.

Montrer qu'il existe c dans ]a,b[ tel que 3$ \frac{1}{b-a}\Bigint_a^b f(t)dt = f(c)

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:14

Mine de rien je réfléchis depuis tout à l'heure sur ton problème

J'ai une démonstration mais c'est pas très rigoureux et je sais pas trop comment l'interprêter mathématiquement.

Déjà \red b-a ça correspond à la longueur du segment [a,b] sur lequel est défini f. Comme f est continue alors on peut noter \Bigint_{a}^{b}f(t)dt l'aire délimitée par l'axe des abscisses et la courbe. Donc on peut trouver un réel d tel que \Bigint_{a}^{b}f(t)dt=d.(b-a). En gros on cherche un tel réel afin que l'aire qui correspond à l'intégrale soit assimilé à un rectangle de longueur b-a. On peut également l'écrire : \frac{1}{b-a}\Bigint_{a}^{b}=d. Et comme f est continue sur [a,b] alors on peut trouver dans cet intervalle un réel c tel que d=f(c).

Je suis pas vraiment convaincu

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul de limite 13-03-07 à 15:30

Rebonjour Kévin. Ta demonstration a l'air correcte; mais il y a beaucoup plus simple, si tu pensais au théorème des accroissements finis?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:34

Re,

Intuitivement, tu comprends bien le truc, mais il faut le mettre en forme.

En appelant 3$ d=\frac{1}{b-a}\Bigint_a^b f(t)dt et en considérant la fonction g définie par g(t)=f(t)-d tu vas pouvoir montrer que l'intégrale de g sur [a,b] est nulle, donc ....

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:35

Je vais essayer de justifier ma dernière affirmation :

Citation :
Et comme f est continue sur  alors on peut trouver dans cet intervalle un réel c tel que d=f(c).


Si on prend une fonction monotone, par exemple croissante sur [a,b] alors :

f(a) < f(b)

Donc si on veut égaler l'aire sous la courbe par un rectangle de longueur b-a alors on devra choisir d tel que f(a) < d < f(b).

Comme f est continue, croissante sur [a,b] vérifiant l'inégalité ci-dessus alors il existe bien un c dans [a,b] tel que f(c)=d.

On peut faire la même démonstration pour une fonction décroissante.

Et pour une fonction constante c'est comme diraient certains "trivial"

Il y a de ça ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul de limite 13-03-07 à 15:37

Je ne veux pas vous gacher le plaisir, mais si vous appliquiez le théorème des accroissements finis à une primitive F de f?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:38

Oui Camélia, c'est direct, mais est-ce qu'ils voient le TAF en Terminale ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Calcul de limite 13-03-07 à 15:41

J'avais pas percuté qu'il s'agit de terminale! Mais alors, franchement, il est difficile! En fait tu redémontres le TAF.

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:41

en même temps c'est débile ce que je dis vu que la démo que je propose est Rolle.

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:42

Citation :
'avais pas percuté qu'il s'agit de terminale! Mais alors, franchement, il est difficile! En fait tu redémontres le TAF.


j'avais pas percuté que dans la démo j'utilisais Rolle en fait

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:42

Non on ne voit pas ce théorème en Terminale

Mais je veux bien que vous me montriez ce que ça donne.

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:43

Vous m'embrouillez

Je dois faire quoi au juste ? ^^

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:47

Si on définit g par g(t)=f(t) - d, on a alors \Bigint_a^b g(t)dt = 0.
Donc il existe c dans ]a,b[ tel que g(c)=0.
En effet, si on pose F(x)=\Bigint_a^x g(t)dt, F est dérivable et continue sur [a,b] et F(a)=F(b)=0 donc d'après le théorème de Rolle, il existe c dans ]a,b[ tel que F'(c)=0, c'est à dire tel que f(c)=0.

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:47

tel que g(c)=0 pardon ...

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:48

va voir ce lien si tu veux Kevin

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:51

Ah ok merci j'ai compris

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 15:53

Vous n'avez pas un autre petit exo sympa ?

Tout est prétexte pour ne pas faire de SVT

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:00

Soient f,g continues sur [a,b], et telles que g \ge 0.
Montrer qu'il existe c dans [a,b] telle que \Bigint_a^b f(t)g(t)dt = f(c) \Bigint_a^b g(t) dt

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:17

Comme f et g sont continues sur [a,b] alors elles admettent une infinité de primitives sur cet intervalle. Si je note F et G deux primitives respectives de fg et g. Alors il existe un réel c dans [a,b] tel que :

4$ \fbox{\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F'(c)}{G'(c)}}

En passant à l'intégrale:

4$ \fbox{\frac{\Bigint_{a}^{b}f(t)g(t)dt}{\Bigint_{a}^{b}g(t)dt}=\frac{f(c)g(c)}{g(c)}}

Et on a donc bien un réel c dans [a,b] tel que 4$ \fbox{\Bigint_a^b%20f(t)g(t)dt%20=%20f(c)%20\Bigint_a^b%20g(t)%20dt}

C'est ça ?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:20

ça sort d'où ton premier encadrement ?

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:23

D'ici :

Ensuite j'ai appliqué ça aux primitives pour retomber sur mes pattes, ça fonctionne pas ?

Parce que j'ai pas réussi à exploiter ton g > 0

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:27

Le problème c'est que y'a pas de raison que ça soit le même c pour G et F.

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:30

Ah oui zut

Parce que j'ai fait 4$ F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a} et 4$ G'(c)=\frac{G(b)-G(a)}{b-a} et j'ai fait le quotient

Ca s'appelle du bricolage

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:31

L'idée aurait pu etre bonne

Commence par encadrer ton fonction f, puis fg....

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:34

Oui mais comment l'encadrer ? On a aucune indication sur f mis à part qu'elle est continue ?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:35

continue sur [a,b] donc ...

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:39

Donc elle est bornée

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:40

oui, maintenant tu peux avoir un encadrement de fg.
Passe ensuite à l'intégrale ...

Je dois filer moi, bon courage pour la suite ...

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 16:50

Ok bonne soirée

4$ \forall t\in [a,b], m\le f(t)\le M

Avec 4$ m et 4$ M la borne inférieur et supérieure.

Comme 4$ g\ge 0 on a : 4$ \forall t\in [a,b], m.g(t)\le f(t).g(t)\le M.g(t)

En passant à l'intégrale :

4$ \forall t\in [a,b], m.\Bigint_{a}^{b}g(t)dt\le \Bigint_{a}^{b}f(t)g(t)dt\le M.\Bigint_{a}^{b}g(t)dt

Et en choisissant convenablement un réel 4$ c tel que4$ M=f(c) on a finalement :

4$ \fbox{\Bigint_{a}^{b}f(t)g(t)dt=f(c)\Bigint_{a}^{b}g(t)dt}

Posté par
Rodrigore : Calcul de limite 13-03-07 à 18:25

Pour info, l'astuce utilisée par infophile, me smeble correcte en effet on peut démontrer que pour f,g dérivalbles sur ]a,b[, et continue sur [a,b], alors on peut trouver c \in ]a,b[ tel que
\Large \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}, je crois que ça s'appelle formule de Cauchy (encore une!!), et c'est pas tres compliqué à prouver.

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