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Calcul de limite

Posté par
kaiser Moderateur 12-03-07 à 23:29

Bonsoir à tous

Je vous propose un exo accessible au niveau spé et qui, comme l'indique le titre de ce topic, concerne le calcul d'une limite.

Soit \Large{\varphi} une fonction continue sur [0,1] à valeurs strictement positives.

Pour x > 0, on pose \Large{f(x)=\(\bigint_{0}^{1}\varphi(t)^{x}dt\)^{\frac{1}{x}}}

Calculer \Large{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)}

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:39

Bonsoir,

t'aimes bien les fonctions à valeurs strictement positives

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 12-03-07 à 23:39

Bonsoir,

J'ai du faire n'importe quoi, mais je trouve 4$ e^{\Bigint_0^1 ln(\varphi(t) dt}. Je sais même pas si ça existe comme écriture.
Je tente le coup, on sait jamais, mais je pense que c'est faux

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:40

Salut Rouliane,

c'est quoi le e en dessous?

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 12-03-07 à 23:41

exponentielle

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:42

Ah ok je croyais qu'il s'était incrusté par erreur

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 12-03-07 à 23:43

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:43

Citation :

t'aimes bien les fonctions à valeurs strictement positives




Rouliane > pourrais-tu expliquer ta démarche ?

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 12-03-07 à 23:45

J'ai écris f sous la forme exponentielle, puis j'ai reconnu en exposant un taux d'accroissement en 0.
J'ai ensuite appliqué le théorème de dérivation sous le signe intégral.

C'est ça qu'il fallait faire ou pas ?

Posté par
suistropre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:47

Il faut utiliser le faite que phi est mesurable ou pas du tout?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:48

oui c'est bien ça !
la prochaine fois, j'essaierai de trouver un problème plus corsé, histoire que ça tienne plus de 20 minutes.

Kaiser

Posté par
suistropre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:51

Rouliane trop baleze

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:51



T'as dégainé la Rouliane

Toujours de l'analyse la prochaine kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:52

effectivement, bravo Rouliane !

Citation :
Toujours de l'analyse la prochaine kaiser


je regarde ça !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 12-03-07 à 23:57

Merci je suis content d'avoir trouvé d'autant que généralement je lutte pendant 1h pour arriver à pas grand chose

J'ai pas écrit la démo parce que j'étais pas sur de moi ...

Ca m'arrangerait que ça soit de l'analyse la prochaine

En tout cas c'est une très bonne idée ces p'tits exos, que propose aussi tealc

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 12-03-07 à 23:59

Moi quand je propose des exos de battage de cartes ou de groupe il y a personne

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:02

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:18

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:22

Ca va on se marre bien

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:23

et pendant ce temps là y'a personne qui répond à ton post

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:27

Mon post?

Posté par
fusionfroidere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:27

battage de cartes je pense

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:28

oui

c'était une boutade

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:29

Il est clos mon cher,veleda,Ksilver et Fractal sont arrivés à la solution

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:30

ça m'apprendra

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:34

Je te remercie de ta non participation

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:45

de rien, ce fut avec plaisir

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:47

J'ai ouvert un exo pour ta nuit

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:48

je l'ai mis dans ma "black-list"

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:49

bon je vais me coucher bonne nuit à tous et bonne algèbre

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:51

Bonne nuit, moi je me fais une nuit-topo

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:53

T'es même pas venu sur l'exo de Camélia qui t'étais destiné

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:55

pas vu

Posté par
Cauchyre : Calcul de limite 13-03-07 à 00:57

Topologie (pour ceux qui s'entrainent)

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 00:59

merci

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 10:56

Bonjour

J'ai pas vu il est où le taux d'accroissement ?

4$ \fbox{f(x)=\exp\[\frac{1}{x}.ln\(\Bigint_{0}^{1}\phi(t)^xdt\)\]}

On peut faire rentrer le log à l'intérieur ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:04

Salut Kévin

Si on pose \Large{g(x)=\ln(\bigint_{0}^{1}\varphi(t)^{x}dt)}, on voit que g(0)=0 et donc

\Large{f(x)=\exp(\frac{g(x)}{x})=\exp(\frac{g(x)-g(0)}{x-0})}

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:10

Salut Kaiser

Merci c'était tout bête

Ensuite on a donc 4$ \fbox{\lim_{x\to 0^+}f(x)=\exp\[g'(0)\]} ?

Où est-ce qu'on applique le théorème de dérivation ?

Merci

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:14

Bonjour,

Tu dérives une intégrale, non ?

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:17

Salut

4$ \fbox{g'(x)=\frac{\(\Bigint_{0}^{1}\phi(t)^xdt\)'}{\Bigint_{0}^{1}\phi(t)^xdt}}

Et ensuite on applique ça : ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:18

Citation :
Où est-ce qu'on applique le théorème de dérivation ?


on ne voit pas ça en Terminale !
Bien sûr, c'est le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
Comme son nom l'indique, ce théorème permet, sous certaines hypothèses, de dériver sous le signe intégrale.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:19

ici, on n'a pas besoin d'un théorème aussi puissant, car on est sur un compact ( (0;1] ) mais c'est le principe, oui

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:20

Pardon Kaiser, une fois de plus je te voyais pas connecté ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:20

Au temps pour moi !
oui, c'est bien ça qu'il faut utiliser.

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:21

Ah ok ben j'ai compris

Merci à vous deux

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:25

Euh juste une question : c'est quoi un compact ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:25

Citation :
ici, on n'a pas besoin d'un théorème aussi puissant, car on est sur un compact ( (0;1] ) mais c'est le principe, oui


oui, effectivement, on peut faire ça à la main car pour tout t, la fonction \Large{x\mapsto \varphi(t)^{x}} est "suffisamment régulière".

Citation :
Pardon Kaiser, une fois de plus je te voyais pas connecté ...




En fait, je crois que cela arrive à n'importe quel membre qui n'actualise pas une page du site pendant un certain temps.

Kaiser

Posté par
infophilere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:27

Citation :

En fait, je crois que cela arrive à n'importe quel membre qui n'actualise pas une page du site pendant un certain temps.


Moi je la réactualise tellement que la dernière fois j'ai été banni de l' par le robot

Posté par
kaiser Moderateurre : Calcul de limite 13-03-07 à 11:27

Tu n'es pas le seul !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Calcul de limite 13-03-07 à 11:29

Ce que je voulais dire, Kaiser, c'est qu'on a pas besoin de l'hypothèse de domination ici, on a seulement besoin de l'existence et de la continuité de la dérivée partielle par rapport à x.

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