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Calcul de somme

Posté par
Nementlec 25-05-15 à 12:14

Bonjour,

Je cherche à calculer le nombre suivant : $\sum_{k=0}^{n}{(k+1)\mathrm{i}^k}$, où $n \in \mathbb{N}$.

J'ai déjà commencé par exprimer ce que vaut $k\mathrm{i}^k$ en raisonnant modulo 4 sur $k$, mais reste à savoir combien d'entiers sont congrus à 0, 1, ..., 3 modulo 4 tout en étant inférieur à $n$. Je n'ai pas approfondi cette méthode car elle me semble longue, c'est pourquoi j'aimerais savoir si je suis sur la bonne piste, ou s'il y a moyen de faire autrement tout en étant plus concis.

En vous remerciant d'avance !

Posté par
francois5re : Calcul de somme 25-05-15 à 12:25

Salut, tu peux éventuellement regarder la fonction x \mapsto \sum_{k=0}^n x^{k+1}

Posté par
Nementlecre : Calcul de somme 25-05-15 à 12:30

Évidemment... En dérivant, ça vient direct ! Merci beaucoup pour ce rappel à l'ordre

Posté par
francois5re : Calcul de somme 25-05-15 à 12:34

L'année prochaine tu étudieras les séries entières, cette technique deviendra naturelle ^^

Posté par
carpediemre : Calcul de somme 25-05-15 à 12:54

salut

je ne vois pas ce que viennent faire les congruences ici ...

certes il y a la technique de dérivation ....


une autre méthode ::

\sum_0^n (k + 1)x^k = \sum_0^n kx^k + \sum_0^n x^k

la deuxième somme est la somme des termes d'une suite géométrique .... occupons-nous de la première en l'écrivant ::

\sum_0^n kx^k = \\ 0 + \\ x + x^2 + ... + x^n + \\ x^2 + x^3 + ... + x^n + \\ x^3 + x^4 + ... + x^n + \\ x^4 + x^5 + ... + x^n + \\ x^{n - 2} + x^{n - 1} + x^n + \\ x^{n - 1} + x^n + \\ x^n = \\ \\ x \dfrac {1 - x^n}{1 - x} + x^2 \dfrac {1 - x^{n - 1}}{1 - x} + x^3 \dfrac {1 - x^{n - 2}}{1 - x} + ... + x^{n - 1} \dfrac {1 - x^2}{1 - x} + x^n \dfrac {1 - x}{1 - x} = \\ \dfrac 1{1 - x} \left( x + x^2 + x^3 + ... + x^n - nx^{n + 1} \right)


je te laisse finir ....

Posté par
alainpaulre : Calcul de somme 25-05-15 à 14:52

Bon dimanche,


Ou encore:
\frac{1}{x}\sum_{i=0}^{i=n}(i+1)x^{i+1}=\frac{1}{x}\sum_{i=1}^{i=n+1}ix^{i}



Alain

Posté par
carpediemre : Calcul de somme 25-05-15 à 14:56


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