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Niveau Maths sup
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carré et racines quatrième de l'unité

Posté par
sgu35 01-05-20 à 17:32

Bonjour,
voici un exercice de mon livre de maths :
Soient a, b, c, d \in \C tels que a+c = b+d et a+ib = c+id.
Montrer qu'il existe un unique \omega \in \C tel que :
(\omega-a)^4=(\omega-b)^4=(\omega-c)^4=(\omega-d)^4

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 17:38

Et voici la réponse qui utilise les racines quatrièmes de l'unité (il y a une autre réponse utilisant les rotations avec les arguments des complexes a, b, c, d) :
Comme les images des racines 4-ièmes de l'unité constituent un carré, la similitude directe s qui envoie ce carré sur (ABCD) permet de se ramener au cas où {a, b, c, d}=U_4. En effet, en notant s:z->az+\omega, on a :
a=\alpha.1+\omega \\ b=\alpha.i+\omega \\ c=\alpha.(-1)+\omega \\ d=\alpha.(-i)+\omega

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 17:40

Déjà je pense que l'expression de s est z->\alpha z +\omega(avec un alpha)
et non z->a z +\omega(avec un a)

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 17:50

De plus, le livre dit que l'angle (\widehat{\vec{BD},\vec{AC}}) vaut \pi/2.
Je pense que c'est -\pi/2 car le parallélogramme ABCD est direct.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 17:54

en fait c'est vrai car c'est un angle géométrique.
Mais ils disent que :
(ABCD) est orienté dans le sens direct car (\widehat{\vec{BD},\vec{AC}}) = \pi/2.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 17:55

Merci de m'éclairer sur cet exercice

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:08

salut

soit A, B, C et D les images des complexes a, b, c et d

a + c = b + d \iff d - a = c - b \iff \vec{AD} = \vec {BC} donc ABCD est un parallèlogramme

a + ib = c + id \iff c - a = i(b - d) ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur

donc ABCD est un carré

noter alors w l'affixe de son centre P ... et alpha que je note u l'affixe du vecteur défini par une demi-diagonale ...

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:13

de plus a + ib = c + id \iff c - a = i(b - d) \iff (\vec{DB}, \vec {AC}) = \arg i = ...

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:18

Citation :
noter alors w l'affixe de son centre P ... et alpha que je note u l'affixe du vecteur défini par une demi-diagonale ...

Pourquoi la demi-diagonale? Il faut que \alpha soit le rapport des distances entre le carré (ABCD) et le carré inscrit dans le cercle unité, non?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:19

Bonjour,
La correction est trop compliquée !
c-b = d-a ; donc \vec{BC} = \vec{AD} et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
a-c = i(d-b) ; donc CA = BD et les diagonales (CA) et (BD) sont perpendiculaires.
ABCD est donc un carré de centre K d'affixe k.
A partir de là, démontrer que (a-k)4 = (b-k)4 = (c-k)4 = (d-k)4 ne présente pas de difficulté.
Par exemple en utilisant le quart de tour direct de centre K

En fait, c'est même inutile.
Il suffit de poser k = (a+c)/2 après avoir constaté que
(a+c)/2 = (b+d)/2.
Puis de vérifier (a-k)4 = (b-k)4 = (c-k)4 = (d-k)4 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:21

Bon, j'arrive après la bataille
Un peu lente à l'écriture...

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:21

carpediem, tu as oublié la condition AC=DB dans ton équivalence :

Citation :
de plus a + ib = c + id \iff c - a = i(b - d) \iff (\vec{DB}, \vec {AC}) = \arg i = ...

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:22

fais un dessin ..et regarde comment on va du centre à l'un des sommet ...

a = u1 + w <=> a - w = u
b = ui + w  <=> b - w = iu
...

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:22

carpediem @ 01-05-2020 à 18:08

a + ib = c + id \iff c - a = i(b - d) ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:25

Sylvieg : je corrigeai seulement les incompréhensions ou erreurs

mais ce que tu dis explique beaucoup plus simplement effectivement la correction et ce que je dis ...

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:39

ok carpediem, j'ai compris l'histoire de la demi-diagonale. On peut le définir \vec{u}=\vec{OA} ou bien \vec{u}=\vec{AO}, non?

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:45

Citation :
{a, b, c, d}=U_4.

en fait il s'agit de l'ensemble formé par les quatre éléments a, b, c et d comme ceci :
\{a, b, c, d\}=U_4

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:51

Citation :
\{a, b, c, d\}=U_4

Je pense que c'est plutôt \{1,i,-1,-i\}=U_4

Posté par
carpediemre : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:54

ouais mais O n'est pas le centre du carré ... c'est P ...

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 18:56

ah oui je confonds l'origine du repère avec le centre de symétrie du carré

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 19:06

Citation :
De plus, le livre dit que l'angle (\widehat{\vec{BD},\vec{AC}}) vaut \pi/2.
Je pense que c'est -\pi/2 car le parallélogramme ABCD est direct.


Personne ne confirme mes dires?

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 01-05-20 à 19:23

Citation :
a=\alpha.1+\omega \\ b=\alpha.i+\omega \\ c=\alpha.(-1)+\omega \\ d=\alpha.(-i)+\omega

doit-on écrire
(\omega - a)^4 = \alpha^4 \\ (\omega - b) = (\alpha.i)^4=\alpha^4 \\ (\omega - c) = (\alpha.(-1))^4=\alpha^4 \\ (\omega - d) = (\alpha.(-i))^4=\alpha^4
?
ou est-ce que ça suffit de dire que le point d'affixe \omega est l'image de O par s ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 08:44

Bonjour,
Je réponds en l'absence de carpediem.

Pour le moins devant /2, tu as raison, mais ça n'a pas grande importance.

Si tu veux coller un peu à ton corrigé, transforme son \; a=\alpha.1+\omega \; en \; \alpha = a-\omega .
De toutes façons, il faut définir \; \alpha \; avant de s'en servir. Mais je préfère ne pas en parler et utiliser \; a-\omega .

Je reprends mes explications avec \; w = (a+c)/2 = (b+d)/2 \; :
Remarquer que \; a-c = i(d-b) .
A partir de là, il est facile de constater que \; (a-w)4 = (b-w)4 = (c-w)4 = (d-w)4 .
Car, avec \; z = a, b, c ou d , on a \; z-w = (a-w)(1, i, -1 ou -i) .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 08:58

Ce qui me gêne dans le corrigé, c'est qu'il affirme "se ramener au cas où \; a,b,c,d = U4 " sans préciser ce qu'est U4,
et surtout comment on fait pour s'y ramener.
Il manque un " Soit \; s \; la similitude qui ".
Sinon, n'est pas explicité.

et sont les coefficients qui apparaissent dans la définition complexe de la similitude qui transforme ....

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 15:04

U_4 est l'ensemble des racines quatrièmes de l'unité

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 15:12

Citation :
De toutes façons, il faut définir \; \alpha \; avant de s'en servir. Mais je préfère ne pas en parler et utiliser \;  a-\omega .

Je ne suis pas d'accord, je pense qu'on peut utiliser \alpha sans le définir, on sait que la similitude directe s s'écrit de cette façon z'=\alpha z + \omega peut importe le \alpha

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 15:17

Je n'ai pas compris :

Citation :
Si tu veux coller un peu à ton corrigé

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 15:48

Citation :
et sont les coefficients qui apparaissent dans la définition complexe de la similitude qui transforme ....

A_4 en A
B_4 en B
C_4 en C
D_4 en D
où A_4, B_4, C_4, D_4 sont les images des complexes qui sont les racines quatrièmes de l'unité.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 16:35

Pour ce qui est de" coller à ton corrigé ", je voulais dire "si tu veux suivre la méthode du corrigé ".
On peut utiliser sans le calculer, mais il faut le définir.
En fait, je n'avais pas vu le s dans " la similitude directe s qui envoie ce carré sur (ABCD) ".
Donc, finalement, je suis d'accord avec le corrigé.
Mais franchement, utiliser une similitude ou des rotations pour démontrer ce qui est demandé, c'est artificiel.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 16:41

En fait, \alpha et \omega sont définis par la donnée de la similitude directe s qui transforme A_4 en A, B_4 en B, C_4 en C et D_4 en D

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 18:23

Oui.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 18:52

Par contre, une similitude est définie avec la donnée de deux points et de leurs images.
Ici, on a défini les images de 4 points par cette similitude...

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 02-05-20 à 19:27

Supposons que A=s(A_4)et B=s(B_4).
Les images de C_4 et D_4 sont bien C et D par la similitude s car une similitude conserve les angles et multiplie les distances par |\alpha|.
Et on a :
le centre de symétrie du carré ABCD est l'image de O par s car s conserve les barycentres (O est l'isobarycentre du carré (A_4B_4C_4D_4))

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 08:43

Bonjour et bon dimanche,
Attention, chaque fois que tu parles de similitude, il faut préciser similitude directe.
Après, il faut préciser les affixes des points A4, B4, C4, D4 :
A4(1), B4(i), C4(-1), D4(-i).
Après avoir démontré que ABCD est un carré direct, on peut justifier qu'il existe une similitude directe s telle que
s(A4) = A, s(B4) = B, s(C4) = C, s(D4) = D.
Sinon, des similitudes directes "qui envoie ce carré sur (ABCD)", il y en a 4.

Je répète que tout ceci est artificiel pour faire utiliser des similitudes (ou des rotations) alors qu'il n'y en a pas besoin.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 13:22

Oui, une similitude directe conserve les angles orientés et multiplie les distances par |\alpha|. Par contre est-ce qu'une similitude quelconque conserve les barycentres comme le dit mon livre?

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 13:28

Citation :
Sinon, des similitudes directes "qui envoie ce carré sur (ABCD)", il y en a 4.

Je ne comprends pas car, étant donné quatre points M1, M2, M'1, M'2, il existe une seule similitude directe s telle que s(M1)=M'1 et s(M2)=M'2

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 13:34

Ok je comprends : si s envoie le carré A_4B_4C_4D_4 sur ABCD, alors on peut avoir soit s(A_4)=A, s(B_4)=B, s(C_4)=C,
soit s(A_4)=B, s(B_4)=C, s(C_4)=D, s(D_4)=A,
soit s(A_4)=C, s(B_4)=D, s(C_4)=A, s(D_4)=B,
soit s(A_4)=D, s(B_4)=A, s(C_4)=B, s(D_4)=C.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 13:37

Citation :
Ok je comprends : si s envoie le carré A_4B_4C_4D_4 sur ABCD, alors on peut avoir soit s(A_4)=A, s(B_4)=B, s(C_4)=C,
soit s(A_4)=B, s(B_4)=C, s(C_4)=D, s(D_4)=A,
soit s(A_4)=C, s(B_4)=D, s(C_4)=A, s(D_4)=B,
soit s(A_4)=D, s(B_4)=A, s(C_4)=B, s(D_4)=C.


la 1ère similitude est définie ainsi :
s(A_4)=A, s(B_4)=B, s(C_4)=C, s(D_4)=D

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 13:45

Citation :
Je répète que tout ceci est artificiel pour faire utiliser des similitudes (ou des rotations) alors qu'il n'y en a pas besoin.

Je n'ai pas compris...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 17:55

Utiliser des similitudes pour démontrer ce qui est demandé, c'est utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche.
Voir mon message du 1er à 18h19 que je reproduis en remplaçant k par w :

Il suffit de poser w = (a+c)/2 après avoir constaté
(a+c)/2 = (b+d)/2.
Puis de vérifier (a-w)4 = (b-w)4 = (c-w)4 = (d-w)4 .

Pour avoir l'idée de poser w = (a+c)/2 :
Les points d'affixe a, b, c, d forment un carré. il suffit de choisir l'affixe du centre du carré, milieu des diagonales.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 03-05-20 à 18:39

Ok merci!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 13:51

Citation :
Par contre est-ce qu'une similitude quelconque conserve les barycentres comme le dit mon livre?
Une similitude directe les transforme ( je préfère "tranforme" à "conserve" ).
Une similitude indirecte peut se décomposer en produit d'une similitude directe par une réflexion. Donc elle aussi.

Posté par
etniopalre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:02

J    e n'ai pas tout lu ce qui précède  mais , si je ne me trompe  pas , il reste à montrer que   (a + c)/2   est le seul qui ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:15

Mais oui !
Ça m'avait échappé

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:17

On peut peut-être parler de médiatrices ?

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:19

Citation :
J    e n'ai pas tout lu ce qui précède  mais , si je ne me trompe  pas , il reste à montrer que   (a + c)/2   est le seul qui ...

Le seul qui quoi?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:25

Citation :
Montrer qu'il existe un unique \omega \in \C tel que :

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:41

Je pense qu'il s'agit de la synthèse :
on veut montrer que le point P qui vérifie la propriété est unique.
On a :
(p-a)^4=(p-b)^4=(p-c)^4=(p-d)^4
on trouve, en passant au module, que |p-a|^4=|p-b|^4=|p-c|^4=|p-d|^4
puis comme la fonction x->x^4 est bijective de [0;+\inf[ sur [0;+\inf[,
on a |p-a|=|p-b|=|p-c|=|p-d|
ce qui signifie que p est sur la médiatrice de [AB] et sur la médiatrice de [BC], qui sont deux axes de symétrie du carré, donc p = \omega, affixe du centre de symétrie de (ABCD) et p défini ainsi est unique.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:48

Oui, distingue bien le point P de son affixe p.
Ça donne une autre manière d'avoir l'idée que le point d'affixe w ne peut être ailleurs qu'au centre du carré.

Posté par
sgu35re : carré et racines quatrième de l'unité 04-05-20 à 15:56

As-tu une autre idée de démontrer cela?

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