Bonjour
Tu peux regarder ce qu'on raconte sur le sujet dans les articles consacrés à l'axiome du choix

Bonjour,

Pouvoir choisir un élément dans un ensemble, ça veut dire qu'on a une preuve du fait que cet ensemble est non vide.

À mon avis, l'axiome du choix est une autre histoire. L'axiome du choix dit que le produit d'une famille quelconque d'ensembles non vides est non vide.

D'accord, merci à vous deux. GBZM, le fait que chaque ensemble soit non vide n'entraîne-t-il pas automatiquement que le produit soit non vide? Ce produit contient par exemple la famille où est choisi dans ?

Non, ce n'est pas automatique, ça demande l'axiome du choix justement !
Choisir un élément dans un ensemble non vide ne pose pas de problème.
Mais choisir une famille d'éléments avec quand est une famille d'ensembles non vides, ça pose un problème !
Ça revient à savoir trouver, quand on a une surjection , une application telle que .

Ok GBZM. Concrètement, tu me dis que je n'ai pas le droit d'écrire:
« Soit . Par surjectivité de et , je choisis tel que . Alors dépend de et j'ai construit une application telle que . »
sans accepter un nouvel axiome, dit « axiome du choix »?

Pour chaque , tu peux choisir un tel que . La surjectivité te dit que tu peux le faire.
Par contre, si tu veux organiser tous ces choix pour chaque en une fonction , tu as besoin de l'axiome du choix.

L'axiome du choix te permet de passer de

à
.

Vois-tu ?

J'ai toujours pensé que ce passage était naturel. C'est par exemple le procédé que j'utilise parfois pour construire des suites.
J'apprends donc que ce passage ne serait pas naturel. Mais honnêtement, non, je ne vois pas pourquoi. Pour moi, je construis bien une application en faisant ça. « Organiser », je ne comprends pas par exemple ce que cela signifie. La notion d'application intègre une notion d'organisation?

Bonsoir,
c'est vrai que l'axiome du choix parait naturel.
Il a des conséquences qui sont moins naturelles, par exemple le fait que tout ensemble puisse être muni d'un « bon ordre »

Bonjour,

Quand tu construis une suite par récurrence, tu n'as besoin d'aucun axiome du choix.
Sinon, pour faire de l'analyse, on a besoin en général de formes faibles de l'axiome du choix : axiome du choix dénombrable et, plus fort, axiome du choix dépendant. Tu peux regarder les pages correspondantes sur wkipedia.
Je reviens sur la notion "d'organiser" le choix.
Quand tu démontres que pour tout , il existe un unique qui vérifie une propriété , tu définis bien une application de dans (dont le graphe est décrit par )
Qund tu démontres que pour tout , il existe un qui vérifie une propriété (et rien ne dit qu'il est unique), tu n'as pas une fonction de dans sans axiome du choix. Avoir une fonction tel que , c'est organiser, uniformiser, le choix pour tout d'un tel que .

Merci verdurin et GBZM. Ok, c'est compris. Il faut que la construction soit « uniforme », et c'est l'axiome du choix qui le permet.
C'est bizarre, mais on ne précise jamais dans l'enseignement dans quel système on travaille(ZF? ZFC?), est-ce implicitement ZFC?

Habituellement, ZFC, ou au moins ZF + choix dépendant.