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Niveau Maths sup
Complexe et géométrie
Posté par sammaths
Bonjour !
Voilà, j'ai des exos à faire en maths mais je bloque sur deux petite question :
1) résoudre dans C l'équation (z-1)/(z-2)=i. Donner la solution sous forme algébrique. Soit M,A et B les points d'affixes respective z,1,2. On suppose M différent de A et B. Interpréter géométriquement le module et l'argument de (z-1)/(z-2). Retrouver en utilisant un dessin, la solution de l'équation.
2) Montrer que l'ensemble des points dont l'affixe ((z-1)/(z-i))^2 appartenant à R est la réunion d'une droite et d'un cercle (moins éventuellement un point).
1) J'ai trouvé z=(3/2)-(1/2)i mais je bloque sur la suite
2) Je ne sais pas comment partir, faut-il tout développer puis poser z=a+ib ?
Bonjour,
(z-1)/(z-2) = i, donc module = 1 et argument = 
/2
Interprétation géométrique : (z-1) = i(z-2)
z-1 se déduit de z-2 par une rotation d'angle /2
Le point 1 se déduit du point 2 par une rotation d'angle /2 autour de z
Le triangle (1,z,2) est isocèle et rectangle en z
Parfait, j'ai compris, j'aurais du résonner avec i pour le module et l'argument..
Mais, je suis toujours bloqué à la 2)..
Il ne faut pas raisonner analytiquement mais géométriquement :
Tu as ((z-1)/z-i)² = k réel.
Tu as 3 cas :
k = 0, alors z = 1
k > 0, alors :
(z-1)/(z-i) = +/-
k
z- et z -i sont donc proportionnels : le lieu cherché est la droite passant par 1 et i, donc par A(1,0) et B(0,1)
Le point "éventuellement" à exclure est le point B à cause du terme (z-i) au dénominateur. Il correspond aux points à l'infini sur la droite.
k < 0, alors :
(z-1)/(z-i) = +/-i|k|
Arg((z-1)/(z-i)) = +/-Arg(i) = +/-/2
Là il faut utiliser un théorème de géométrie du plan. On considère le cercle de diamètre AB. Pour tout point M du cercle, le triangle AMB est rectangle en M, autrement dit Angle(MZ,MB) = +/-/2, le signe variant en passant d'un demi-cercle à l'autre. Le lieu cherché est donc le cercle de diamètre AB.
Les deux solutions sont donc :
- La droite (AB), à l'exception éventuelle du point B,
- Le cercle de diamètre AB.