Bonjour,

Tu peux exprimer et en fonction de  1 et puis calculer .

Au fait, que vient faire un R² dans cette histoire ?

Erreur de ma part : il y a bien des R qui vont se simplifier...

Je trouve :

a²/b  = (e^-i2+e^-i1)/4

Correct ?

Tu as du commettre des erreurs.

bonjour,

Citation :

Alors, voici mon calcul :

a²/b = (R²(eⁱ¹+ⁱ²))/4*R²*eⁱ⁽¹⁺²⁾

= (eⁱ¹+ⁱ²)/4*eⁱ⁽¹⁺²⁾

En utilisant le conjugué de eⁱ⁽¹⁺²⁾ soit e^-i(1+2)

On obtient eⁱ¹*e^-i(1+2) +eⁱ¹*e^-i(1+2)

Ce qui donne e^-i1 +e^-i2
Tout ça divisé par 4, où mon erreur ?

Bonjour Quentin,

D'après ce que tu as écris, il manque il manque un carré au numérateur.

Bonjour à tous,

Pepper08800, je vois que tu es nouveau, peux-tu renseigner ton profil (d'études) s'il te plaît (en allant dans ton espace membre)
Nous le demandons à tous les nouveaux inscrits.
Je te remercie


malou edit > **profil renseigné** merci

et bah on recommence !

En oubliant toutes les recopiages..

J'obtiens avec le même principe :  (e^i(1-2)+e^i(2-1)+2)/4

Oui !

Tu peux maintenant écrire ceci avec des cosinus.

bonjour,
tu n'as pas lu ce que j'ai écris
L'expression de ta somme de 2 formes exponentielles est complétement fausse !!

n'est pas égale à

>>DOMOREA

Ceci :

  

Citation :
(e^i(1-2)+e^i(2-1)+2)/4

Non en effet !! Simplement une erreur de recopie dans mon message et en plus j'ai oublié un carré dès le départ.


Ok à la fin j'obtient (cos(1-2)+1)/2 donc a²/b est compris entre [0;1] (je ne comprends pas pourquoi l'intervalle est censé être ouvert en  0 ? )

j'obtiens ** il faut que j'apprenne à  me relire !

.. que tu peux écrire aussi (formule de trigo) :

  

  

C'est vrai, pas pensé à  celle là.

Ahah malin !

Merci beaucoup

Si je dois vous reposer des questions sur la suite du problème, je dois refaire un sujet  ou directement poser ici ?

Toujours dans le même topic (si c'est le même exercice)

On a montré que (Z+1/Z est un réel) (Z est un réel ou |Z|=1)

On a donc montré précédemment que si |z1|=|z2| alors a²/b est un réel et appartient  à l'intervalle ]0,1]

Ensuite il faut montrer que si a²/b est un réel, en posant Z=z1/z2,
Z+1/Z existe et est un réel.

Je vous partage mes pistes :

Z+1/Z existe car z10 et z20

On peut écrire Z+1/Z = 2cos(1-2) or étant donné  que a²/b d'après ce qu'on a trouvé Z+1/Z est un réel non ?

Et pour finir, conclure que si a²/b ]0;1] alors |z1|=|z2|:

Ici j'ai envie de dire que si a²/b ]0;1] et a²/b un réel alors Z+1/Z est un réel donc |Z| = 1 donc |z1|=|z2| d'après ce que j'ai annoncé tout en haut ?

Merci encore !

Et si tu continues ici, essaie de nous dire si la condition est spécifiée dans ton énoncé.

Une remarque : si , les deux racines complexes de ton équation () sont opposées.

Autrement dit

et

C'est seulement si que ton intervalle est ouvert en .

Tu peux exprimer en fonction de et

En principe, tu dois aboutir à :

  

La conclusion est immédiate.

Une erreur de frappe :

Citation :
en fonction de et

Autre solution :

  

donc

et est bien un réel.

Tu peux oublier 13h17 :

J'ai commis une erreur de logique mais c'est un peu de ta faute :

Tu dois absolument recopier l'énoncé tel qu'on te l'a donné sans y changer quoique ce soit.
De ce que je comprends en lisant entre les lignes, il s'agit de démontrer une réciproque :

  Si , alors ou

Mais poste un énoncé exact et complet

Je le recopie tel que :

On a

1) Soit Z un nombre complexe non  nul  :  Prouver :
(Z+1/Z est un réel)  (Z est un réel ou |Z|=1)

4) On suppose |z1|=|z2|
Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle puis en déduire que a²/b est un réel et appartient  à l'intervalle ]0,1]
-> Celle qu'on a déjà traité

5) Montrer que si a²/b est un réel, en posant Z=z1/z2,
Z+1/Z existe et est un réel.

6) En conclure que si a²/b  ]0;1] alors |z1|=|z2|

Mot pour mot c'est l'énoncé, ce que j'avais déjà recopié pour le coup !

et oui a et b sont non nuls

Je reprécise de ce fait que z1 et z2 sont deux racines complexes éventuellement égales de (E) : z²-2az+b=0 fonction étudiée à la 2)
Ce que j'avais précisé au début du topic  

As-tu montré que ?

oui c'est fait !

Bien.

Donc si , alors est réel où   c'est à dire .

6) On suppose maintenant que réel appartient à l'intervalle

On en déduit que réel appartient à l'intervalle

Si est réel, avec

  Or tu peux vérifier que ou (par exemple par une étude de fonction).
Seul le cas (qui signifie ) est litigieux.  Mais on a bien dans ce cas (racine double pour l'équation).

Bref, on peut éliminer réel.
Il reste

Ok je comprends jusque là !

Maintenant pourquoi k=1 est un cas litigieux, pourquoi pas k=-1 ?

car k+1/k < -2 est vrai si k ]-; 0[ et de même pour l'autre inégalité ?

est litigieux parce qu'alors

Or est bien une valeur appartenant à   auquel doit appartenir

ne pose pas de problème : qui n'appartient pas à l'intervalle

Oui ?

Oui j'ai compris !

Donc Z+1/Z est réel si k = 1 et dans ce cas z1=z2 donc |z1|=|z2|, et on peut finalement éliminer Z réel  ?

C'est bien ce que j'ai fait haha bien pratique !

Mais oui !

En résumé, tu as prouvé l'équivalence suivante :

  Soit l'équation avec et complexes non nuls et et ses solutions.

  

Merci beaucoup !!!

TOUT compris !

De rien QuentinDelon1 et enchanté de t'avoir rendu service !

Bonsoir QuentinDelon1,

J'ai quelques regrets ; si tu repasses par ici, dans ce genre d'exercice, il est toujours formateur de voir ce qui se passe quand on s'éloigne des hypothèses de l'énoncé :

1) et

  L'équation de départ devient

   qui admet deux racines (éventuellement complexes) opposées et leurs arguments diffèrent de modulo

  En revenant à la question 1) on a et comme de juste :

    

2) et

  L'équation se réduit à   évidemment les solutions et n'ont pas même module mais n'a plus aucune signification.

3) cas déjà envisagé. L'équation devient :

   soit (La racine double )

4) et 5) Questions insidieuses :

   Que se passe-t-il quant aux racines si réel est :

   - strictement négatif.

   - strictement supérieur à

?

Toujours là !!

Intéressant ! D'ailleurs si la suite de l'exercice vous intéresse, je peux vous faire part de mes recherches qui semblent abouties mais sûr de rien ! (Cette fois on suppose arg(z1)=arg(z2)[2pi] haha !!)

Si a²/b réel <0 alors
Si a<0, il peut autant y avoir des racines réelles ou complexes ?
Si b<0, il n'existe pas de racines complexes et  donc parler d'argument ne semble pas approprié

Si a²/b >1 alors  a²>b, 4a²>4b donc, il n'existe pas de racines complexes ici non plus ?

Vu l'équivalence prouvée précédemment, on sait maintenant que :

si est réel supérieur strictement à ou strictement négatif, alors est réel.
  - dans le premier cas (le réel est positif),
  - dans le second cas (le réel est négatif),

Géométriquement, les points et   origine du repère sont alignés.

Je n'ai pas précisé, mais ce qu'on doit démontrer ici est ;

Si b/a² ]0;1]  réel alors arg(z1)=arg(z2) modulo 2


J'ai fait le même travail que précédemment en donnant un intervalle sur lequel Z+1/Z est réel. On remarque que Z est réel dans tous les cas.
Ainsi pour que Z soit réel il faut que z1 et z2 soient tous les 2 réels ou bien tous les 2 imaginaires purs.

Or ici peut-on encore affirmer que z1 et z2 ont mêmes modules ?
Et si oui peut on prouver qu'ils ont  même argument ?

pourquoi peut on affirmer que z1/z2 est réel dans ces cas là ?

Une appliquette GeoGebra pour illustrer :

  

salut

j'ai suivi de loin ...

pardon : NoMbre Complexe , Module et équation