Niveau Maths sup

complexes

Posté par
pusep 12-02-09 à 15:06

Bonjour, j'ai deux égalités a prouver:
En notant w(k)=exp (2ik*pi/n), avec a et b dans C:

Produit(k=1..n) (a+b*w(k))=a^n+(-1)^(n-1)*b^n

et avec c dans R:

Produit(k=1..n) (w(k)²-2cos(c)*w(k)+1)=2(1-cos(nc))

Merci d'avance

Posté par re : complexes 12-02-09 à 15:26

Bonjour

Pour la première. Remarque que si $b\neq 0,$ les a+bw(k) sont les n racines du polynôme

$(X-a)^n-b^n$

Posté par re : complexes 12-02-09 à 15:35

ainsi le produit des racines est égal au terme constant divisé par le terme prépondérant qui est 1 ici, merci beaucoup, et pour la 2nde je ne vois pas comment démarrer

Posté par re : complexes 12-02-09 à 15:42

On doit pouvoir utiliser le premier résultat en tenant compte du fait que

$w(k)^2-2\cos(c)w(k)+1=(w(k)-e^{ic})(w(k)-e^{-ic})$

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