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Niveau Maths sup
Complexes et équations du 4ème degrès
Posté par lefoudemaths
Bonjour,
Je bloque sur ce problème :
On considère l'ensemble (E) des équations du quatrième degrès, à coefficient réels, de la forme :
f(x) = x^4 + 2ax^3 + bx^2 + 2ax + 1 = 0
1) a) Posons u = x + 1/x. Montrer que x est solution de (1) si et seulement si u est solution d'une équation du second degrès à déterminer. On notera (2) cette équation.
1) b) Montrer que l'équation (1) à toujours quatres solutions dans 
, distincts ou non.
Pouvez m'aider s'il vous plait ? Votre aide me serait d'une grande utilité
Merci d'avance
bonsoir,
x=0 n'est pas solution donc on peut mettre x² en facteur
f(x)=x²(x²+2a/x+b+2a/x+1/x²)=x²(x²+1/x²+2a(x+1/x)+b)=x²A(x)
on pose u=x+1/x=>u²=x²+2+1/x² donc x²+1/x²=u²-2
A(x)=0<=> u²-2+2au+b=0 (2) sauf erreur de calcul
Merci beaucoup j'ai trouvé le même résultat pour la 1)a)
Et comment faire pour prouver que l'équation (1) admet toujours 4 équations dans ? Je n'y arrive pas du tout ...
Merci d'avance
bonsoir,
l'équation en (2) est du second degré en u,comme ontravaille dans C elle admet deux solutions u' et u"
mais u=x+1/x donc x²-ux+1=0
pour u=u' on a donc x²-u'x+1=0 équation du second dgré en x qui admet 2 solutions dans C
donc 2 solutions pour u' et 2 solutions pour u" ce qui fait bien 4 solutions
elles ne sont pas nécessairement distinctes car une équation du second degré peut avoir une racine double
Merci beaucoup je viens de comprendre. Mais maintenant je bloque sur la suite :
On suppose que l'équation (1) à une racine complexe non réelle x0, de module distinct de 1.
Montrer qu'alors elle a aussi pour racine le conjugué du complexe x0 ainsi que 1/x0
Merci beaucoup pour votre aide
bonsoir,
les coefficients de(1) sont réels
f(x0)=0<=>
on passe aux conjugués,a et b étant réels sont leurs propres conjugués donc
donc \bar{x_0}est bien solution c'est du cours il me semble
quelques problèmes avec le latex
comme les coefficients sont symétriques et que x0est non nul puisque non réel on peut mettre x04 en facteur à gauche dans l'équation et simplifierpar x0[sup][4/sup]
on va obtenir f(1/x0)=0 donc 1/x0est solution et son conjugué aussi maissi|x0|=1 donc ce sont les mêmes que les précédentes