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Complexes - Prouver une implication (Exercice)

Posté par
Koelite 26-07-20 à 14:56

Bonjour,

J'ai réfléchis à l'exercice suivant :

Citation :
Soient z et z′ deux complexes non nuls. Montrer que |z + z′| = |z| + |z′| ⇐⇒ ∃λ ∈
+ tel que z′ = λz.


L'implication de la gauche vers la droite se fait en deux lignes.
En revanche, l'autre me pose problème...
J'ai supposé la gauche. J'ai élevé l'égalité au carré : |z + z′|² = (|z|² + |z′|)².
Ensuite, j'ai développé, remplacé les modules par le produit d'un complexe par son conjugué et après simplification j'ai obtenu : |zz'| = Re(zz').
Si on veut être précis, on peut continuer en élevant au carré pour obtenir (Re(zz'))² = (Re(zz'))² + (Im(zz'))² et donc Im(zz') = 0. Mais c'est assez évident.
Donc zz' .
Et là, j'ai essayé plusieurs choses mais aucune n'ont abouti et je ne vois pas comment montrer l'existence du fameux .

Je vous remercie pour votre aide.
Bonne journée !

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 14:57

J'ai réfléchis*

Posté par
carpediemre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 16:18

salut

voir ici cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par exemple ...

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 16:32

Bonjour

Citation :
Donc zz'


C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z

Citation :
L'implication de la gauche vers la droite se fait en deux lignes.


Ce ne serait pas le contraire qui serait simple et que tu aurais fait? car...

Citation :
J'ai supposé la gauche. J'ai élevé l'égalité au carré


signifie que tu pars de la gauche et tu essaies d'arriver à droite. Non?

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 17:41

Citation :
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z

Non, je pense que vous confondez avec z*z(barre).

Citation :
Ce ne serait pas le contraire qui serait simple et que tu aurais fait? car...

Oui !

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:11

Koelite @ 26-07-2020 à 17:41

Citation :
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z

Non, je pense que vous confondez avec z*z(barre).

En effet!

Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:21

J'ai trouvé la démonstration sur le site suivant : https://share.miple.co/content/6IggazU5m0tIG

Je ne comprends pas deux équivalences. Je recopie la démo ici :
Soit (a, b)∈C² tels que ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣.
En passant l'égalité au carré :
|a+b|^2=(|a|+|b|)^2
\Leftrightarrow |a|^2+|b|^2+2Re(a\bar{b})=|a|^2+|b|^2+2|a||b|
\Leftrightarrow Re(a\bar{b})=|a||b|
\Leftrightarrow Re(a\bar{b}) = |a\bar{b}|
\Leftrightarrow a\bar{b}\in\mathbb{R}^+
\Leftirghtarrow b=0 ou \exists\lambda\in\mathbb{R}^+,a=\lambda/\bar{b}
Or :
\lambda/\bar{b}=\lambda\times b/(b\bar{b})=\lambda\times b/|b|^2=\lambda 'b avec \lambda '\in\mathbb{R}^+.
Ainsi, |a+b|=|a|+|b| ssi a et b sont positivement liés, c-à-d : b=0 ou \exists\lambda\in\mathbb{R}^+,a=\lambda b.

Je ne comprends pas le passage de la 5e ligne à la 6e ligne (b=0 ou...).
Pouvez-vous m'expliquer ?

Merci.

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:25

Citation :
Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?

arg(z)+arg(z') est congru à 0 modulo 2.

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:29

non. réfléchis à l'alignement de 3 points.

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:31

C'est le modulo qui est inexact.

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 18:43

arg(zz') = arg(z)+arg(z') congru à 0 modulo .
Excusez-moi pour l'erreur.
En revanche, je ne vois pas à quoi cela peut me servir :/

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 19:03

J'aurais du vérifier avant: "zz' est réel" est inexact. C'est le rapport qui doit être réel et pas le produit.

Contrexemple: z=1+i  et z' = 1+i

Vérifie qu'ils vérifient l'égalité demandée

Calcule zz': ce n'est pas réel

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 26-07-20 à 19:25

Tu repars de  |z + z′| = |z| + |z′|   les 2 nombres sont positifs

|z + z′|² = (|z| + |z′|)² et procède par implication en utilisant |Z|² =  Z.Z  (Z barre)

(z+z')(z+z') = |z|² + |z′|²+ 2|z||z′|

(z+z')(z+z') = |z|² + |z′|²+ 2|z||z′|

Développe à gauche, regroupe les zz qui te donneront des modules au carré, simplifie pour arriver à une égalité simplifiée

Ensuite passe en exponentielle: z=reit et z'= r'eit' et remplace chaque terme , en utilisant le module et l'argument d'un conjugué.

Tu devrais arriver au but...

          

Posté par
carpediemre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 27-07-20 à 14:42

pourtant je donne une solution

carpediem @ 26-07-2020 à 16:18

salut

voir ici cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par exemple ...
qui ne nécessite rien :

je note a* le conjugué de a

|a + b| = |a| + |b| => |a + b|^2 = (|a| + |b|)^2 \iff ...

je t'invite à développer (avec les conjugués) puis à élever une nouvelle fois au carré ...

une fois qu'on arrive à ab^* \in \R^+ qui est encore équivalent à ab^* = a^*b  je te propose plus simplement de poser b = ka et de montrer que k est réel ... très simplement ...

Posté par
Koelitere : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 27-07-20 à 19:14

Bonsoir,

Merci à vous deux, j'ai donc 2 solutions à la preuve, j'ai réussi, merci beaucoup !

Posté par
jeansebre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 27-07-20 à 19:25

Posté par
carpediemre : Complexes - Prouver une implication (Exercice) 27-07-20 à 21:47

de rien


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