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Niveau Maths sup
Complexes - Prouver une implication (Exercice)
Posté par Koelite
Bonjour,
J'ai réfléchis à l'exercice suivant :
Citation :
Soient z et z′ deux complexes non nuls. Montrer que |z + z′| = |z| + |z′| ⇐⇒ ∃λ ∈
+ tel que z′ = λz.
Soient z et z′ deux complexes non nuls. Montrer que |z + z′| = |z| + |z′| ⇐⇒ ∃λ ∈
+ tel que z′ = λz.L'implication de la gauche vers la droite se fait en deux lignes.
En revanche, l'autre me pose problème...
J'ai supposé la gauche. J'ai élevé l'égalité au carré : |z + z′|² = (|z|² + |z′|)².
Ensuite, j'ai développé, remplacé les modules par le produit d'un complexe par son conjugué et après simplification j'ai obtenu : |zz'| = Re(zz').
Si on veut être précis, on peut continuer en élevant au carré pour obtenir (Re(zz'))² = (Re(zz'))² + (Im(zz'))² et donc Im(zz') = 0. Mais c'est assez évident.
Donc zz'
.
Et là, j'ai essayé plusieurs choses mais aucune n'ont abouti et je ne vois pas comment montrer l'existence du fameux
.
Je vous remercie pour votre aide.
Bonne journée !
salut
voir ici 
cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par exemple ...
Bonjour
Citation :
Donc zz'
Donc zz'
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z
Citation :
L'implication de la gauche vers la droite se fait en deux lignes.
L'implication de la gauche vers la droite se fait en deux lignes.
Ce ne serait pas le contraire qui serait simple et que tu aurais fait? car...
Citation :
J'ai supposé la gauche. J'ai élevé l'égalité au carré
J'ai supposé la gauche. J'ai élevé l'égalité au carré
signifie que tu pars de la gauche et tu essaies d'arriver à droite. Non?
Citation :
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z
Non, je pense que vous confondez avec z*z(barre).
Citation :
Ce ne serait pas le contraire qui serait simple et que tu aurais fait? car...
Ce ne serait pas le contraire qui serait simple et que tu aurais fait? car...
Oui !
Koelite @ 26-07-2020 à 17:41
Non, je pense que vous confondez avec z*z(barre).
En effet!
Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?
Citation :
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z
C'est toujours vrai car zz'= |z|2 pour tout complexe z
Non, je pense que vous confondez avec z*z(barre).
En effet!
Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?
J'ai trouvé la démonstration sur le site suivant : https://share.miple.co/content/6IggazU5m0tIG
Je ne comprends pas deux équivalences. Je recopie la démo ici :
Soit (a, b)∈C² tels que ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣.
En passant l'égalité au carré :
ou
Or :
avec
.
Ainsi, ssi a et b sont positivement liés, c-à-d :
ou
.
Je ne comprends pas le passage de la 5e ligne à la 6e ligne (b=0 ou...).
Pouvez-vous m'expliquer ?
Merci.
Citation :
Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?
Du coup on peut repartir de zz' est réel, donc la somme des deux arguments de z et z' vaut combien?
arg(z)+arg(z') est congru à 0 modulo 2
.arg(zz') = arg(z)+arg(z') congru à 0 modulo .
Excusez-moi pour l'erreur.
En revanche, je ne vois pas à quoi cela peut me servir :/
J'aurais du vérifier avant: "zz' est réel" est inexact. C'est le rapport qui doit être réel et pas le produit.
Contrexemple: z=1+i et z' = 1+i
Vérifie qu'ils vérifient l'égalité demandée
Calcule zz': ce n'est pas réel
Tu repars de |z + z′| = |z| + |z′| les 2 nombres sont positifs
|z + z′|² = (|z| + |z′|)² et procède par implication en utilisant |Z|² = Z.Z (Z barre)
(z+z')(z+z') = |z|² + |z′|²+ 2|z||z′|
(z+z')(z+z') = |z|² + |z′|²+ 2|z||z′|
Développe à gauche, regroupe les zz qui te donneront des modules au carré, simplifie pour arriver à une égalité simplifiée
Ensuite passe en exponentielle: z=reit et z'= r'eit' et remplace chaque terme , en utilisant le module et l'argument d'un conjugué.
Tu devrais arriver au but...
pourtant je donne une solution
carpediem @ 26-07-2020 à 16:18
salut
voir ici cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par exemple ...
qui ne nécessite rien :
salut
voir ici
cas d’égalité de l’inégalité triangulaire par exemple ...je note a* le conjugué de a
je t'invite à développer (avec les conjugués) puis à élever une nouvelle fois au carré ...
une fois qu'on arrive à