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Niveau autre
construction géométrique des Homographie
Posté par Ksilver
Bonsoir !
je cherche une construction géométrique (la plus simple possible tant qu'a faire ^^ ) pour construire l'image d'un point z du plan par une homographie (ie une application complexe z->(az+b)/(cz+d) ) connaissant un peu ce qu'on veut sur l'homographie (par exemple, sont poles, ses points fixe, l'image de certain point fixé etc...)
j'ai essayé de choses en utilisant l'image de trois fixé, et en utilisant que les homographie conservait les angles orienté (et changer les cercle et les droite et des cercle et des droites...), mais je n'ai obtenue que des construction tres compliqué... (pas pratique pour construire l'image de plusieur point quoi )
ca existe ?
merci !
Bonsoir Ksilver.
D'abord un petit reproche en toute cordialité : pense à accorder tes pluriels. J'ai peur que tu sois un jour ou l'autre pénalisé dans un concours à cause de ces fautes toutes bêtes !
Cela étant, ton sujet me rappelle un truc que j'ai vu en spé il y a très très longtemps. De mémoire :
Au moyen de deux similitudes on se ramenait à la transformation z --> 1/z que l'on traitait au moyen d'une transformation appelée inversion.
Si tu veux, je peux essayer de retrouver cela dans de vieux livres de prépa style Cagnac et Tiberge.
A plus RR.
Merci ! J'ai cherché sur internet, je n'ai pas vraiment trouvé de construction de l'inversion à la régle et au compas. (enfin j'arrive à imaginer des choses, mais c'est vite tres compliqué...) et c'est vrai que ca serait un bon début oui ^^
Bonsoir Ksilver
Tout d'abord, on peut remarquer qu'une homographie peut aussi s'écrire sous la forme .
Ainsi, on remarque qu'il suffit de savoir faire 4 type de constructions :
1) les translations (ça, c'est simple)
2) les rotations (ça aussi c'est faisable)
3) les homothéties (idem)
4) (ça par contre, il faut réfléchir un peu..
)
Plus sérieusement, si z non nul s'écrit , alors son image est
.
Autrement dit, on effectue d'abord une symétrie par rapport à l'axe des abscisses et on essaie de construire .
Pour cette dernière opération, il suffit d'utiliser Thalès. Un dessin vaut mieux qu'un long discours (tu m'excuseras pour la qualité du dessins et l'échelle ! )
Voilà, si ça peut t'aider.
Kaiser
Bonsoir 
On a parlé en cours d'inversion de pôle, et la prof nous a dit que c'était à la mode il y a quelques années, et que plusieurs matheux se sont penchés sur le problème donc tu devrais devoir trouver quelque chose dans une vieille bibliothèque
certe, mais c'est le genre de construction que je trouvait un peu laborieuse justement ^^
(faire deux similitude, calculer 1/r et faire la symétrie, ca fait quand meme beaucoup de construction succesive pour une seul image... on peut faire plus simple)
Par contre je me rends compte que les homothéties en sont pas immédiates à faire. Il suffit pour cela d'utiliser à nouveau Thalès comme précédemment.
Kaiser
Citation :
certe, mais c'est le genre de construction que je trouvait un peu laborieuse justement ^^
certe, mais c'est le genre de construction que je trouvait un peu laborieuse justement ^^
OK, bon ben tant pis !
Kaiser
j'en ai une sous la main de veille bibliothèque justement... je pourrait aller y faire un tour, mais si qqn a une référence plus précise à me donner ca augmmenterai mes chances de succés ^^
Bonjour kaiser.
On ne peut pas dire que tu arrivais après la bataille car je n'avais proposé que de vagues idées, alors que toi tu les a concrétisées. Ton topic me fait revenir mes très vieux souvenirs à propos de ce sujet. Notre prof de prépa de l'époque passait par la transformation :
Je me souviens également de points cocycliques ...
Bonjour infophile : c'est ce que je disais il faut chercher de très vieux bouquins car j'étais élève de spé il y a terriblement longtemps !
A plus RR.
Ksilver.
Si tu as accès à de vieux livres, c'est parfait. Je te propose :
Cagnac et Tiberge les quatre tomes de prépa couleur bleu clair dans les années 65 -> 70
A plus RR.
Une autre piste : utiliser les résultats des fonctions holomorphes sur la représentation conforme.
Je vais voir ce que cela peut donner.
A plus RR.
J'irais voir demain si je peut le trouver.
J'ai l'impression que les maths d'autrefois étaient très axés géométrie non ? >>> oui, et encore t'as pas vu les sujet des concours des anné 30 :p
Une autre piste : utiliser les résultats des fonctions holomorphes sur la représentation conforme.
>>> ouai, c'est ce à quoi j'avait pensé aussi, les homographie sont les seul application conforme du plan (enfin au pole pres...) mais la difficulté est de trouver les informations pertinente sur l'homographie (ses points fixe son pole etc...).
on peut aussi utiliser le fait que les homographie transforme les droite et les cercle en d'autre droite et cercle conjointement...
Je viens de passer à la bilbiothèque et "Tiberge" semble etre inconnu du catalogue. en revanche j'ai trouvé plein d'autre bouquin de prépa de l'époque (notement de Cagnac) qui parlait de ce genre de géométrie, j'ai trouvé plein de chose intéressante, mais j'ai pas encore trouvé la construction que je cherche (ni la construction de l'inversion...)