Bonjour et bienvenue

Regarde un peu cette fiche Continuité et théorème des valeurs intermédiaires ( clique sur la maison)

Je vais donner mes réponses :
1) f_1, f_2 et f_3 sont continues. f_4 n'est pas continue.
2) f_2 est continue sur [3;4]
3) f_4 n'est pas continue sur [3;4]

x

Je corrige ma typo :

3) f_4 n'est pas continue sur [2;3]

Pour f_4, elle me semble bien continue sur [2;3].
Non?

Pour moi non : elle n'est pas continue en 2.

En revanche la restriction de f à l'intervalle [2;3] est continue.

Tu as raison. J'ai déconné...
Désolé

Bonjour,

Si il y avait consensus sur les définitions mathématiques cela se saurait. Mais c'est très loin d'être le cas. Comme d'habitude, chacun étant sûr que de sont ses définitions les correctes.

Voila donc avec mes définitions :

f_2 est continue sur [3;4] car f est continue sur l'intervalle indiqué.
f_4 est continue sur [2;3]  car f est continue sur l'intervalle indiqué.

Il n'est pas question ici d'aller voir ailleurs que dans les intervalles indiqués dans les questions.
f(2) est parfaitement défini en 2 par f(2) = 1.

Par contre si la question portait sur la continuité de f_4 sur [1;3], alors on aurait f4 est discontinue en 2

Question 1)
f1, f2 et f3 continues
f4 discontinue ... mais continue par morceaux.

Mettons nous d'accord sur une définition dans ce cas. Je n'en connais qu'une :

f : X -> Y est continue si : pour tout a dans X, f est continue en a.

Si A est inclus dans X, f est continue sur A si : pour tout a dans A, f est continue en a.

Avec ces définition, f_4 n'est pas continue sur [2;3]

Bonjour,

"Avec ces définitions, f_4 n'est pas continue sur [2;3]"

Pas d'accord.
f4 est continue sur [2 ; 3] ... mais pas continue sur [1;3]

Bien que je n'ai aucune confiance dans les IA :

Je pose la question à une IA :

Une fonction définie comme suit :

f(x) = x sur [1 ; 2[
f(x) = x-1 sur [2 ; 3]
Question : f est-elle continue sur [2;3] .

Sa Réponse :
La fonction est continue sur [2;3]
.
Note importante : Bien que f présente une discontinuité (saut) au point x = 2 sur son domaine global
(car la limite à gauche est , elle est mathématiquement considérée comme continue sur l'intervalle [2;3]
car on ne considère que les points appartenant à cet ensemble.

Et une fois n'est pas coutume je pense la même chose que l'IA.

Bonjour,
La question 1) me semble incomplète car elle ne précise pas sur quel intervalle on est censé se poser la question.
Autrement dit, il me semble qu'il n'y a pas de définition pour la continuité sur autre chose qu'un intervalle.

Par ailleurs, comme évoqué par candide2, il n'y a pas consensus sur la définition de continuité sur un intervalle.
Je conseille donc dans la réponse de rappeler la définition utilisée.
Délicat si c'est un QCM...

salut

en toute rigueur je suis d'accord avec toi Sylvieg mais il n'y a pas d'ambiguïté pour f1 :

d'après le graphique la fonction est définie sur l'intervalle I = [1, 2] et pour tout intervalle J inclus dans I f est continue sur J.

et c'est la même chose pour f3 avec I = [1, 2[

ce n'est plus le cas pour f4 où f n'est pas continue sur tout intervalle ]2 - a, 2 + b[  (a, b dans ]0, 1[)

je suis d'accord avec candide2 (qui n'est pas une IA )

Bonjour
d'accord avec candide2
pour moi continue sur [a,b], ça veut dire continue à droite en a (parce que dans [a,b], on ne peut être que à droite de a), à gauche en b (raison analogue), et continue en tout x de ]a,b[.

Bonjour lafol,
Pour moi aussi ; mais d'autres définitions existent.
celastus doit tenir compte de celle qui lui a été donnée.

Salut
C'est étrange, mais il me semble que les seules fonctions continues sur leur domaine respectif sont f1et f3. J'utilise la définition qui coincide avec l'idée de tracer la courbe sans lever le crayon

Bonsoir,
Non, mousse42 : est bien continue sur son domaine de définition qui est . " l'idée de tracer la courbe sans lever le crayon" n'est valable que quand le domaine de définition est un intervalle, ce qui n'est pas le cas ici.

Sylvieg

Pour ce qui est de , sa restriction à est continue, mais elle n'est pas continue en tout point de puisqu'elle n'est pas continue en 2.

ok, je ne savais pas, je pensais que c'était sur un intervalle.
Donc f est continue sur son domaine si elle est continue en tout point de son domaine.

Merci GBZM

Exact.