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conventions , espace vectoriel

Posté par Profil amethyste 29-06-15 à 07:32

salut et vraiment merci d'avance pour toute réponse

sachant que ce symbole \times est utilisé pour autre chose

comme le produit cartésien et d'ailleurs il est écrit ci-dessous mais aussi utilisé dans la même phrase pour dire autre chose

je désire savoir si vous connaissez une notation conventionnelle à cela pour dire

soit un K-espace vectoriel E et K un corps commutatif

la loi de composition interne V\times W:E\times E\rightarrow E selon V\times W=\tex {   }\langle V|V\rangle .W-\langle V|W\rangle .V

avec la forme bilinéaire symetrique  \langle V|W\rangle\in K

étant entendu que c'est dans l'utilisation du symbole ici qu'il existerai déjà une convention

mais que je ne connais pas ...

V\times W=\tex {   }\langle V|V\rangle .W-\langle V|W\rangle .V

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 08:14

Citation :
V\times W:E\times E\rightarrow E

Cette notation ne va pas. C'est comme écrire 2+3 : \N\times \N\to \N. Une façon correcte d'écrire serait

\begin{aligned} E\times E &\longrightarrow E\\ (V,W)&\longmapsto V\times W \end{aligned}

Citation :
la forme bilinéaire symetrique  \langle V|W\rangle\in K

Laquelle ? (et l'écriture est aussi incorrecte).

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 08:20

merci Robot

oui je sais qu'elle va pas mais je peux pas employer le symbole etoile je l'utilise pour autre chose déjà

bah sinon j'aurai écrit V*W:E\times E\rightarrow E

quand à la forme bilinéaire symetrique je j'emploi elle est écrite là rang d'un matrice : une méthode sympas

apres des corrections des deux fautes que j'avais écris car j'étais pressé

mais bon c'est hors sujet à la limite ...vu que l'on sait que pour tout couple (V,W) d'element de E alors

\langle V|W\rangle\in K une forme c'est déjà une application

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 08:54

Ecrire \times ou * ne change rien au fait que l'écriture est incorrecte !
Quant à ta forme bilinéaire symétrique, elle n'est toujours pas définie par ton lien : elle ne le serait que si tu avais choisi une base de E.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:10

pour une loi de composition interne notée * dans un K-espace vectoriel E à gauche (sauf que je peux pas employer ce symbole là )  

il n'y a pas d'erreur à dire x*y:E\times E\rightarrow E

et c'est bien une loi de composition interne  vu que

pour tout couple de vecteurs (V,W)\in E\times E quelqu'il soit

on obtiens V\times W= \langle V|V\rangle .W-\langle V|W\rangle .V est aussi un vecteur

puisque pour tout couple de vecteurs (V,W)\in E\times E quelqu'il soit

on obtiens \langle V|W\rangle \in K

et pour la definition de la forme bilinéaire elle est donnée sur le premier post du lien

pour   V=\{v_1,v_2,...,v_n) et   W=\{w_1,w_2,...,w_n) avec v_i\in K et   w_i\in K

cette forme est selon   \langle V|W\rangle =v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n\in K

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:13

je voulai dire V*W mais bon ...

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:21

L'écriture V*W:E\times E\rightarrow E est toujours incorrecte, et la forme bilinéaire toujours pas correctement définie. Enfin peu importe, l'histoire ici rang d'un matrice : une méthode sympas se casse la figure, inutile d'inventer une notation pour ça.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:26

Robot tu as mal appliqué l'algo

j'obtiens un rang de 2 et   en plus la forme donne 0 pour solution  

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:32

Citation :
Robot tu as mal appliqué l'algo

Ecris ton calcul et tu verras.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:43

certes

je dois modifier l'algo

bon je reviendrai

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:55

Remarque : dans le cadre euclidien ou hermitien (où le produit scalaire \langle \cdot\mid\cdot\rangle a bien un sens) et si V\neq 0, alors W-\dfrac{\langle V\mid W\rangle}{\langle V\mid V\rangle}\,V est le projeté orthogonal de W sur l'hyperplan orthogonal de V.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 09:56

au fait ... merci Robot

ceci dit je reviendrai et ça marchera !

je suis borné...

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 10:02

Ca ne marchera que si tu te limites au cadre euclidien ou hermitien, et ce que tu as écrit dans l'autre fil n'est alors qu'une variante pénible de l'orthogonalisation de Gram-Schmidt (comme l'indique ma remarque faite ci-dessus).

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 10:05

eh bien faudra ce qui faut

je sais pas quand certes mais faudra (j'ai d'autres trucs a voir en maths aussi) mais je suis tenace

encore merci mille fois et excuse pour t'avoir saoulé avec ça

belle journée camarade Robot

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 10:08

Avec plaisir.
Essaie tout de même de comprendre ce que j'ai écrit sur la correction des notations pour une application.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 29-06-15 à 10:10

oui ça compte sur moi camarade

les maths , c'est la vie!

et j'ai pas envie de crever gratuitement

à plus camarade chef

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 15:27

bonjour Robot alors j'arrange comme ça et j'obtiens une matrice de rang deux

pour l'exemple que tu m'a donné en appliquant l'algo on obtiens le rang deux pour la matrice

\begin{pmatrix} 1&0\\ i&0\\ 0&1\end{pmatrix}


E un  K-espace vectoriel fini de dimension n et K l'un des deux corps \mathbb {R} ou \mathbb {C}

par convention tout vecteur V s'ecrivant comme étant une matrice colonne \begin {pmatrix}v_1\\v_2\\  ...\\v_n\end {pmatrix}

je défini la forme bilinéaire \langle V\mid W \rangle=v_1\overline {w}_1+v_2\overline {w}_2+...+v_n\overline {w}_n  

un vecteur V est nul si et seulement si on verifie  \langle V\mid V \rangle= 0  

deux vecteurs V et W sont colinéaires si et seulement si

\langle V\mid W \rangle^2-\langle V\mid V \rangle \langle W\mid W \rangle =0  

deux vecteurs V et W sont orthogonaux si et seulement si

\langle V\mid W \rangle =0  

alors pour une loi de composition interne notée * dans  E (sauf que je peux pas employer ce symbole là )  

pour tout couple de vecteurs (V,W)\in E\times E quelqu'il soit

on obtiens V* W= \langle V|V\rangle .W-\langle V|W\rangle .V est aussi un vecteur

par exemple pour l'exemple que tu m'a donné

V=\begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0\end{pmatrix}

W=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

V et W sont non nuls et orthogonaux

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 15:39

Bon, tu as sans doute compris Gram-Schmidt avec un produit scalaire hermitien.
Sauf qu'il y a incohérence entre ton écriture du produit scalaire hermitien et ton écriture de la projection orthogonale (maquillée en ton opération *) parce qu'avec ce que tu écris V*W n'est pas linéaire en W.
A part ça, quoi de neuf ?

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 15:43

merci pour ton aide Robot

je continue je vais reverifier une nouvelle fois que cette forme \angle V\mid W  \rangleest bien bi-linéaire

j'ai fait qu'une seule demo mais je vais reverifier (j'ai pas envie de refaire une nouvelle connerie)

je suis une améthyste donc je me mefie

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 15:56

Le produit scalaire hermitien n'est sûrement pas bilinéaire ! Il est sesquilinéaire. Si tu l'écris semi-linéaire à droite, alors ta formule de projection n'est pas valable.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 16:06

je vais tout mettre à plat

(merci donc c'est un produit scalaire hermitien)

je vais aussi voir tout ce que tu m'a dit pour le bidule  loi * la projection ortho (et encore merci)

évidemment je risque pas de venir aider sur le forum avant -je sais pas trop quand-

mais dans le même temps

1-je dirai moins de conneries
2-je dois travailler seul

et encore merci de m'avoir aiguillé , je pense pas qu'un jour je puisse te rendre la pareil

faut que j'accepte de vivre avec ça sur la conscience

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 17:35

Citation :
A part ça, quoi de neuf ?


je pense à mes deux amis là sur le lien pour le centième anniversaire de leur  morts

https://www.ilemaths.net/sujet-un-prof-de-maths-en-avance-643161.html#fin

ceci dit je pense aussi à ce que tu m'a dit ... mais l'un n'empêche pas l'autre

bonne continuation mon camarade Robot

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 01-07-15 à 17:36

Citation :
A part ça, quoi de neuf ?


je pense à mes deux amis là sur le lien pour le centième anniversaire de leur  morts

un prof de maths en avance

ceci dit je pense aussi à ce que tu m'a dit ... mais l'un n'empêche pas l'autre

bonne continuation mon camarade Robot

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 02-07-15 à 16:39

Bonjour

toujours dans le cadre des conventions et merci d'avance

ma question est d'ordre de la denomination de quelque chose donc il ne s'agit pas de rechercher la solution à un problème


Soient sont donnés

E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et m

B et C deux bases respectivements de E et F

\varphi    une application linéaire de E dans F

___________________________

on note mat _{BC}(\varphi ) la matrice de cette application linéaire, de m lignes et n colonnes

on note mat _B(x) les coordonnées sur B d'un vecteur x de E

on note mat _C(x) les coordonnées sur C d'un vecteur x de F

cette application étant linéaire on verifie \forall x\in E,mat _C(\varphi (x))=mat _{BC}(\varphi ). mat _B(x)

QUESTION

comment se nomme  l'application linéaire \overline {\varphi }   de F dans E telle que

telle que \forall x\in E,mat _B(x)=mat _B(\overline {\varphi } (\varphi (x)))=mat _{CB}(\overline {\varphi }  ).mat _C(\varphi (x))=mat _{CB}(\overline {\varphi }  ).mat _{BC}(\varphi ). mat _B(x)

où ici on note mat _{CB} la matrice de cette application linéaire \overline {\varphi }   de F dans E et qui est une matrice de n lignes et m colonnes

où on verifie donc I_n=mat _{CB}(\overline {\varphi }  ).mat _{BC}(\varphi ) est la base canonique de E

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 02-07-15 à 16:54

Il n'y a aucune raison que \varphi ait un inverse à gauche (et n'en a sûrement pas si m<n).
Et tu as une fâcheuse tendance à confondre base et matrice de changement de base. Appeler I_n "la base canonique" n'a pas de sens.

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 02-07-15 à 16:55

merci Robot

je vais faire attention!

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 02-07-15 à 17:09

oui effectivement  ça n'a aucun sens

j'ai formulé ça sans réfléchir à ce que ça donne dans ma tête

si m<n ça aurai voulu dire que tout vecteur de l'espace E de dimension n

peut s'ecrire comme une combinaison de vecteurs de F de dimension m  

ce qui est complètement absurde

j'essayerai de faire plus attention (désolé)

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 02-07-15 à 17:19

encore merci Robot : je prend l'engagement ici :

je vais tacher de venir encore moins et surtout si c'est pour poser ce genre de question

d'essayer de reflechir avec ma tête et pas avec mes pieds  

surtout si c'est pour enchainer conneries sur conneries

bonne soirée Robot

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 03-07-15 à 16:31

j'avance Robot

si tu savais ... je reprend tout depuis le début avec les matrices d'applications linéaires

si tu ne m'aurai pas aidé , j'allais droit dans le mur

en fait je suis autodidacte mais il y a des limites qu'on peut pas atteindre si on en fait qu'à sa tête

merci camarade pour tout ce que tu as fait pour moi  

Posté par Profil amethystere : conventions , espace vectoriel 07-07-15 à 19:14

Bonjour Camarade Robot, ton aide aura été très utile

j'ai fini par comprendre tout ce que tu m'a dit

j'ai ouvert ce fil sur la rubrique expresso car je trouve ça bien détaillé   espace hermitien normé

ceci dit je ne savais pas que les espaces hermitiens étaient appris au lycée* : j'ai quitté le cursus scolaire au collège et cela il y a 33 ans ...

Posté par
Tonmre : conventions , espace vectoriel 13-07-15 à 07:02

Citation :
est le projeté orthogonal de W sur l'hyperplan orthogonal de V
juste en lisans c'est pas le projeté orthogonal de W sur V tout court?

Posté par
Robotre : conventions , espace vectoriel 13-07-15 à 08:15

Tu pourrais citer complètement

Citation :
W-\dfrac{\langle V\mid W\rangle}{\langle V\mid V\rangle}\,V est le projeté orthogonal de W sur l'hyperplan orthogonal de V.

Je confirme ce qui est écrit.
Le projeté orthogonal de W sur la droite dirigée par V, c'est \dfrac{\langle V\mid W\rangle}{\langle V\mid V\rangle}\,V.

Posté par
Tonmre : conventions , espace vectoriel 13-07-15 à 12:46

Oups, excuse.


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