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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Convergence d'une d'un produit de suites de nombre complexes

Posté par
artyb
16-05-18 à 11:42

Bonjour,

Comment résoudre les deux questions suivantes?

Soit z \in K avec K un compact de D(0,1).
On a sup |z|=max|z|=r \leq 1

1. Démontrer que:
||\frac{z^n}{1-z^n}||_\infty\leq \frac{r^n}{1-r}

2. Puis que \sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n} converge normalement sur D(0,1) avec \sum_{n\geq1} a_n suite de nombres complexes convergente.

Où j'en suis pour le moment:
1. On a
 ||\frac{z^n}{1-z^n}||_\infty=sup|\frac{z^n}{1-z^n}| mais ensuite je ne sais pas comment montrer la majoration.

2. On utilise la question précédente et en notant C=sup|a_n| < + \infty on a:
\sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n}\leq C \sum \frac{r^n}{1-r} ?
Cela ne me semble pas juste car la somme d'un produit est différente du produit des sommes...

Posté par
luzak
re : Convergence d'une d'un produit de suites de nombre complexe 16-05-18 à 11:57

Bonjour !
1. Inégalité triangulaire pour minorer |1-z^n|.
2. Où vois-tu un produit de sommes ?
A noter que ton dernier "sigma" n'est pas indexé et l'inégalité n'a pas de sens.
Tout simplement \left|a_n\dfrac{z^n}{1-z^n}\right|\leqslant C\dfrac{r^n}{1-r} mais tu as un problème sérieux si r=1.

Question sur l'énoncé : c'est la suite n\mapsto a_n qui est convergente ou la série, comme tu l'écris ?

Posté par
artyb
re : Convergence d'une d'un produit de suites de nombre complexe 16-05-18 à 13:27

En effet, plusieurs coquilles mais on ne peut pas éditer les posts visiblement (si c'est possible je veux bien que l'on me dise comment faire):
- C'était une inégalité stricte, ie r  <1
- \sum_n a_n est une série convergente et non une suite.

1. l'inégalité triangulaire nous dit que:
|1-z^n| \leq |1|+|-z^n|=1+|z^n|
Ou encore:
\frac{1}{|1-z^n|} \geq \frac{1}{1+|z^n|}
Ou encore:
\frac{|z^n|}{|1-z^n|} \geq \frac{|z^n|}{1+|z^n|}

Mais comme le sens de l'inégalité a changé ça n'aide pas.

2. On a la somme du produit de a_n par  \frac{z^n}{1-z^n} et dans ce que j'ai écris j'ai écris que c'était majoré par le produit des deux majorants pour chaque somme, d'où que l'inégalité que j'ai trouvé n'est pas bonne selon moi.

D'accord pour ta réponse. Dans la correction de l'exercice en revanche ils écrivent:
\sum_{n\eq 1}||a_n\frac{z^n}{1-z^n}||_{\infty}\leq C\frac{r}{(1-r)^2}
Pourquoi ce carré au dénominateur?

Posté par
artyb
re : Convergence d'une d'un produit de suites de nombre complexe 16-05-18 à 13:37

1. On a |1-z^n+z^n|\leq|1-z^n|+|z^n|
Donc \frac{1}{|1-z^n|} \leq \frac{1}{1-|z^n|}\leq \frac{1}{1-r^n}\leq \frac{1}{1-r}
La dernière inégalité découle du fait que r<1
Est-ce bon?

Posté par
luzak
re : Convergence d'une d'un produit de suites de nombre complexe 16-05-18 à 18:48

Qui est C ?
Si la suite est convergente (comme je le pense ) c'est un majorant de |a_n| et l'inégalité qui majore le module du terme a_n\,z^n/(1-z^n) c'est la définition même d'une série normalement convergente.

Alors la somme de la série des modules (qui est convergente grâce à la convergence normale) est majorée par la somme \sum_{n\geqslant1}Cr^n/(1-r) qui vaut (revoir "somme d'une série géométrique") \dfrac{C}{(1-r)}\sum_{n\geqslant1}r^n=\dfrac{C}{1-r}\,\dfrac r{1-r}.

Tu te compliques bien la vie pour l'inégalité triangulaire  : tu dois savoir utiliser directement |a-b|\geqslant||a|-|b|| sans refaire la démonstration...
En tout cas ce que tu as fait maintenant est correct et n'a rien à voir avec la majoration brutale de la somme de la série que tu avais présentée auparavant, sans établir sa convergence..



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