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Niveau Maths sup
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convergence de séries

Posté par
adrien2465 15-03-08 à 19:25

Bonjour à tous,
je suis assez coicé sur un exo sur les séries et je dois absolument avoir la réponse!!
il faut que je determine la natur des series suivantes:

n^n / ((n+1)(n+2)...(n+n)) (je trouve qe celle ci conver et ver e/4 meme si la limite est pas demande)

( (n-1) / (n+1) ) ^2n (ces toute les parenthes qui est a la puissnce 2n) j'ai essayer de la faire avec cauchy et d'alembert mais dans tous es cas je trouve 1 je ne peux donc pas appliquer ces criteres)

( (  n)(ln n) ) / (n²+1) )

integrale de 0 a 1/n (dt/(1+t^n))

J'en ai besoin assez rapidement svp

Merci davance à ceux qui m'aideront.

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 19:51

Salut Adrien,

pour la première je suis d'accord, elle converge par le critère de Cauchy en utilisant une somme de Riemann.
Par contre je n'en ai pas calculé la somme.

Un petit dl montre que le second terme général tend vers e^{-4}\neq 0 donc la série diverge grossièrement.

La troisième est à termes positifs et le t.g. équivaut à \frac{\ell n(n)}n\ge \frac{\ell n(2)}n et d'après le critère de Riemann et le critère de comparaison des séries à termes positifs il y a divergence.

Je regarde la quatrième.


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 19:52

L'inégalité écrite pour le 3è vaut pour n plus grand que 2, j'ai oublié de préciser.

Posté par
adrien2465re 15-03-08 à 19:56

en fait je me suis trompe pr la troisieme je viens de men apercevoir

cest ca :
( ( racine de n)(ln n) ) / (n²+1) )

Pour la deuxieme je n'ai pas vu les developpements limites!!y a t il une autre facon de trouver que le terme general ne converge pas ver 0

Pour la troisieme jai utilise le critere de d'alembeter Un+1/Un qui es egal a e/4 du cou inferieur a 1 donc la serie converge tu penses que capeut etre bon?

merci d'avance de ton aid future

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 19:58

Pour la quatrième, DL de l'intégrande et intégration du O, on trouve après intégration la somme d'une série divergente avec 2 séries convergentes donc il y a divergence.Je regarde la vraie troisième

Posté par
adrien2465Re 15-03-08 à 20:03

je n'ai pas vu les developpemnts limités...Y a t il une autre manière de faire la deux et la 4?

Merci d'avance!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:03

Alors je trouve avec d'Alembert 1 et pas comme toi, donc cas litigieux.
Par contre ça équivaut à \frac{\ell n(n)}{n^{3/2}} et comme le logarithme est inférieur pour n assez grand à toutes les puissances strictement positives de n, il te suffit de majorer ce logarithme avec une puissance assez petite pour ne pas manger toute l'avance sur 1 qu'on a en bas avec le 3/2.

C'est facile!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:04

Comment est-ce possible?
Si tu es dans les séries, tu as forcément vu les DL!Tu es en quoi?

Posté par
adrien2465re 15-03-08 à 20:06

desole je n'arrete pas de dire n'importe quoi en fait c'est pour la premiere que j'ai utilise le critère de d'alembert et que j'ai trouvé lim Un+1/Un = e/4 donc du cou ces possible que la serie converge non?

donc du dis que Un+1/Un pour la troisieme cest egale a Ln(n) / n^(3/2)??

du coup la troisieme serie converge?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:07

ben je suis en premiere annee de licence et je t'assure que je n'ai pas vu du tout les developpement limités!!!j'en entend parler mais aucun cours n'est prevu pour le moment...

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:09

Comme je te l'ai dit, la première converge bien, par contre je ne trouve pas la même limite que toi pour le quotient de D'Alembert.

La troisième converge, je confirme.

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:10

Sans DL, c'est de la perversité!!
Bon je regarde mais c'est vraiment contre-nature!

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:10

et pour la quatrieme du coup tu fais comment pour trouver la nature de la série?

Peux tu me detaillerun peu plus comment tu arrives a ca pour la troisieme?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:14

Pour la troisième tu dis juste que n² équivaut à n puis tu simplifies par racine de n, soit par n^(1/2).

Pour la quatrième j'ai utilisé un DL, mais puisque c'est pas utilisable...

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:14

Pardon je voulais dire tu utilises juste que n²+1 équivaut à n²

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:15

ha daccor jallais justement te repondr en te disant que jene comprenais pas^^

donc du coup pour la quatrieme tu nesais pas comment faire?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:16

Moi si, mais avec un DL!

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:16

mais sans DL?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:17

T'es exigeant rôôh!!Je regarde

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:19

ben c'est que c'est pour un DM noté en fait donc bon un peu d'exigeance s'impose!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:23

Ok je l'ai

L'intégrande est une fonction décroissante ok?

Posté par
adrien2465re 15-03-08 à 20:25

oui ca ok nickel

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:26

Donc tu le minores par la valeur en 1/n et tu intègres.
Qu'obtiens-tu?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:28

on minore par lintegrale en 1/n ou bien juste 1/n?

(je mange je te reponds dici 10 minutes)

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:30

Non, t varie entre 0 et 1/n et la fonction est décroissante donc pour tout t entre 0 et 1/n on a f(t)>f(1/n).

Donc l'inégalité reste vraie en intégrant de chaque côté entre 0 et 1/n.
Voilà!

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:44

daccor e vu que la serie harmonique deiverge alors forcement la serie de terme general truc(ca mevite de tt dire)diverge aussi cest presque ce que j'avais fai en beaucoup plus simple^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:46

Citation :
vu que la serie harmonique deiverge


->Oui après majoration de n(1/n)^(1/n) par n

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:47

ouhla jai pas compris le dernier truc que tu as ecris!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:49

Combien tu trouves après intégration?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 20:55

hum je vois pas comment integrer ca

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:57

MAis y a plus de variable t puisque t a été remplacé par 1/!

Donc la fonction à intégrer à présent est constante!
Donc l'intégrale vaut (longueur de l'intervalle) fois cette constante.

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 20:57

t a été remplacé par 1/n

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:00

doncon a 1/(1 +(1/n))  le tout multiplié par 1/n?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:02

tu oublies un exposant n au-dessus du 1/n du dénominateur.

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:04

ha oui oui exxact pardon je le mettai dans mes calculs  donc si je calcule jobtient n^(n+1)+1 le tout sur n^n?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:07

Non, tu obtiens 4$\frac 1n\frac 1{1+(\frac 1n)^n}=\frac 1{n+n(\frac 1n)^n} ok?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:07

hum oui ces ce ke jai fai!!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:09

(Attention, le style sms n'est pas autorisé sur le forum.)

Donc il reste à minorer ceci par le terme général d'une série divergente, que proposes-tu?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:09

ha oui pardon mais je voulais ecrire vite alors du cou il y a eu un peu de laissé allé^^
ben je propose de minorer par 1/n ^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:11

C'est un peu (en fait à peine) exagéré.
Sois rigoureux (prends ton temps Je t'ai fourni la réponse il y a quelques messages)

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:15

hum on minore l'integrale par cequ'on vient de calculer !

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:16

Oui mais il faut continuer à minorer pour appliquer Riemann!

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:20

ha daccor mais avoueque je seche

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:22

Pour minorer la fraction il faut en majorer le bas.
Les n on les garde précieusement.Par quoi de simple peut-on majorer (1/n)^n?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:26

hum par n

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:27

C'est beaucoup trop grossier!
Il faut une bonne minoration!

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:28

majoration*

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:31

1/n?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convergence de séries 15-03-08 à 21:34

Oui par exemple! Mais majorer par 1 suffit

Comment conclus-tu?

Posté par
adrien2465re : convergence de séries 15-03-08 à 21:37

ha majorer par 1 ca suffit tant mieux^^
si je pren 1/n comme majorant de ce qu'il y a en dessous alors j'obtient que l'integrale elle est minorée par n?

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