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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes

Posté par
yerba
11-04-21 à 18:22

Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour résoudre l'exo suivant :
Soit (gn) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de C, et (fn) une suite de fonctions holomorphe sur C définies comme suit : fn(z)=(z-a)gn(z), a dans U,
Montrer que si fn converge uniformément vers 0, gn converge aussi vers 0 uniformément

J'ai du mal à avoir l'intuition de pourquoi c'est vrai, le facteur z-a pouvant être très petit,  je vois pas comment la propriété pourrait passer de fn à gn.

Merci de votre aide

Posté par
etniopal
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 11-04-21 à 19:00

C'est plutôt   parce que  " le facteur |z - a|  peut être très grand " que  ....
Si U est borné  ça marche .
Sinon il y a convergence uniforme locale .

Posté par
yerba
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 11-04-21 à 21:32

Je ne comprends pas trop,
je m'étais arrêté au problème que : passer de \forall \varepsilon  > 0, \exists N, \forall z \in U, \forall n > N, \left |\left ( z-a \right ) g_n(z)  \right |<\varepsilon \
à  \forall \varepsilon  > 0, \exists N', \forall z \in U, \forall n > N', \left |g_n(z)  \right |<\varepsilon \
revenait à dire que  \frac{\varepsilon}{\left | z-a \right |}   était arbitrairement petit, et c'est faux, en fait je vois pas pourquoi l'holomorphie de ma suite de fonctions a à voir avec ça

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 12-04-21 à 10:01

Évidemment si on sait que |z-a|>m, on trouve un N'. Mais ça ne fait pas tout l'ouvert. Et ce raisonnement serait valable pour n'importe quelle suite de fonctions quelconques convergeant uniformément . Il faut donc se servir du fait que ce sont des fonctions holomorphes, avec une propriété ad hoc à utiliser.

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 12-04-21 à 11:51

C'est sans doute une histoire de développement en série entière en z-a de chaque terme de la série de fonctions holomorphes gn (donc analytiques en tout point de U). En multipliant par z-a, on obtient directement les développements en série entière en z-a de la série de fonctions holomorphes fn , j'imagine que cela conserve les propriétés au niveau de la convergence uniforme.

Posté par
lionel52
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 12-04-21 à 12:25

Hello !

La fonction hn(z) = fn(z)/(z-a), hn(a) = fn'(a) = gn(a) est holomorphe sur U.
Par le principe du maximum,
sup(|hn|) est atteint sur le bord de U.

Comme U est un ouvert, il existe r tel que B(a,r) soit inclus dans U

Alors dans U \ B(a,r)
|hn(z)| <= |fn(z)|/|r-a|

Posté par
yerba
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 12-04-21 à 23:58

Merci à vous pour vos réponses, je réponds uniquement à lionel52. D'accord sur tout ce que vous dites, mais je vois pas l'intérêt d'évoquer le principe du maximum, puisque tout le reste est vrai sans avoir besoin de dire que hn atteint son maximum au bord, si ?

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 13-04-21 à 08:49

yerba @ 12-04-2021 à 23:58

Merci à vous pour vos réponses, je réponds uniquement à lionel52. D'accord sur tout ce que vous dites, mais je vois pas l'intérêt d'évoquer le principe du maximum, puisque tout le reste est vrai sans avoir besoin de dire que hn atteint son maximum au bord, si ?

Comment tu majores fn si tu ne l'utilises pas ?

Posté par
yerba
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 13-04-21 à 09:02

Par convergence uniforme ?

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 13-04-21 à 10:52

Pardon, je voulais dire gn et non fn.
Regardes bien ce qu'a dit lionel52 12-04-21 à 12:25, c'est exactement ce qu'il te faut pour trouver pour gn un N' pour tout ' donné.

Posté par
yerba
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 13-04-21 à 23:34

Ok, merci de votre patience en tout cas
si je comprends bien, on distingue selon si z est dans la boule ouverte de centre a ou pas, et dans les deux cas, gn(z) est plus petit que epsilon*une quantité finie (le sup de gn sur U dans B(a,r), |r-a| sinon) donc il faut prendre le rang Nmax à partir duquel gn(z)<max(epsilon*M,espilon|r-a|) ?
Merci encore

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 14-04-21 à 13:40

C'est bien la distinction qu'il faut faire, sauf que ton raisonnement n'est pas mis en forme et en partie inexact. Il faut raisonner sur les modules.
|gn(z)|=|fn(z)|/|z-a|
Si z est en dehors de la boule fermée de centre a et de rayon r:
|z-a|>r donc |fn(z)|/|z-a|<|fn(z)|/r
Si z est dans la boule fermée, |fn(z)|/|z-a| atteint un maximum M sur le bord de la boule car fn(z)/(z-a) est holomorphe dans la boule ouverte:
|fn(z)|/|z-a|≤ |fn(z0)|/|r-a| où z0 sur le bord de la boule correspond au maximum M. Par la convergence uniforme |fn(z)| peut être choisi aussi petit que l'on veut sur la boule fermée donc en particulier en z0.
On choisit alors N assez grand pour satisfaire les deux inégalités.
Sauf mauvaise compréhension de ma part.

Posté par
yerba
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 14-04-21 à 14:31

Ok, merci bcp. Bien sûr je raisonnais sur les modules,
mais du coup, majorer |gn(z)| pour z dans B(a,r) par le max de |gn(z)| sur le bord de U c'est incorrect ou pas ? le sup sur le bord de B(a,r)  est forcément plus petit que le max sur le bord de U non ?

Posté par
boninmi
re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions holomorphes 14-04-21 à 18:14

Oui, je pense que tu as raison, mon raisonnement n'est pas bon, le |r-a| de lionel52 non plus.
gn(z) (en toute rigueur hn(z)) atteint son maximum sur le bord de U pour, disons z=zmax et donc
|fn(z)|/|z-a|≤|fn(zmax)|/|zmax-a|
Pour conclure en s'appuyant sur la convergence uniforme de fn, il faut majorer le dénominateur du second membre.
Quitte à remplacer B(a,r) par B(a,r/2) par exemple, on peut supposer que |zmax-a|>r , d'où
|fn(z)|/|z-a|≤|fn(zmax)|/r
et on conclut par la convergence uniforme de fn
(attention, zmax dépend de n, d'où l'importance du pour tout z dans U de la convergence uniforme).



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