C'est plutôt   parce que  " le facteur |z - a|  peut être très grand " que  ....
Si U est borné  ça marche .
Sinon il y a convergence uniforme locale .

Je ne comprends pas trop,
je m'étais arrêté au problème que : passer de
à  
revenait à dire que   était arbitrairement petit, et c'est faux, en fait je vois pas pourquoi l'holomorphie de ma suite de fonctions a à voir avec ça

Évidemment si on sait que |z-a|>m, on trouve un N'. Mais ça ne fait pas tout l'ouvert. Et ce raisonnement serait valable pour n'importe quelle suite de fonctions quelconques convergeant uniformément . Il faut donc se servir du fait que ce sont des fonctions holomorphes, avec une propriété ad hoc à utiliser.

C'est sans doute une histoire de développement en série entière en z-a de chaque terme de la série de fonctions holomorphes g_n (donc analytiques en tout point de U). En multipliant par z-a, on obtient directement les développements en série entière en z-a de la série de fonctions holomorphes f_n , j'imagine que cela conserve les propriétés au niveau de la convergence uniforme.

Hello !

La fonction hn(z) = fn(z)/(z-a), hn(a) = fn'(a) = gn(a) est holomorphe sur U.
Par le principe du maximum,
sup(|hn|) est atteint sur le bord de U.

Comme U est un ouvert, il existe r tel que B(a,r) soit inclus dans U

Alors dans U \ B(a,r)
|hn(z)| <= |fn(z)|/|r-a|

Merci à vous pour vos réponses, je réponds uniquement à lionel52. D'accord sur tout ce que vous dites, mais je vois pas l'intérêt d'évoquer le principe du maximum, puisque tout le reste est vrai sans avoir besoin de dire que hn atteint son maximum au bord, si ?

Par convergence uniforme ?

Pardon, je voulais dire g_n et non f_n.
Regardes bien ce qu'a dit lionel52 12-04-21 à 12:25, c'est exactement ce qu'il te faut pour trouver pour g_n un N' pour tout ' donné.

Ok, merci de votre patience en tout cas
si je comprends bien, on distingue selon si z est dans la boule ouverte de centre a ou pas, et dans les deux cas, gn(z) est plus petit que epsilon*une quantité finie (le sup de gn sur U dans B(a,r), |r-a| sinon) donc il faut prendre le rang Nmax à partir duquel gn(z)<max(epsilon*M,espilon|r-a|) ?
Merci encore

C'est bien la distinction qu'il faut faire, sauf que ton raisonnement n'est pas mis en forme et en partie inexact. Il faut raisonner sur les modules.
|g_n(z)|=|f_n(z)|/|z-a|
Si z est en dehors de la boule fermée de centre a et de rayon r:
|z-a|>r donc |f_n(z)|/|z-a|<|f_n(z)|/r
Si z est dans la boule fermée, |f_n(z)|/|z-a| atteint un maximum M sur le bord de la boule car f_n(z)/(z-a) est holomorphe dans la boule ouverte:
|f_n(z)|/|z-a|≤ |f_n(z₀)|/|r-a| où z₀ sur le bord de la boule correspond au maximum M. Par la convergence uniforme |f_n(z)| peut être choisi aussi petit que l'on veut sur la boule fermée donc en particulier en z₀.
On choisit alors N assez grand pour satisfaire les deux inégalités.
Sauf mauvaise compréhension de ma part.

Ok, merci bcp. Bien sûr je raisonnais sur les modules,
mais du coup, majorer |gn(z)| pour z dans B(a,r) par le max de |gn(z)| sur le bord de U c'est incorrect ou pas ? le sup sur le bord de B(a,r)  est forcément plus petit que le max sur le bord de U non ?

Oui, je pense que tu as raison, mon raisonnement n'est pas bon, le |r-a| de lionel52 non plus.
g_n(z) (en toute rigueur h_n(z)) atteint son maximum sur le bord de U pour, disons z=z_max et donc
|f_n(z)|/|z-a|≤|f_n(z_max)|/|z_max-a|
Pour conclure en s'appuyant sur la convergence uniforme de f_n, il faut majorer le dénominateur du second membre.
Quitte à remplacer B(a,r) par B(a,r/2) par exemple, on peut supposer que |z_max-a|>r , d'où
|f_n(z)|/|z-a|≤|f_n(z_max)|/r
et on conclut par la convergence uniforme de f_n
(attention, z_max dépend de n, d'où l'importance du pour tout z dans U de la convergence uniforme).