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Convergences d'intégrales

Posté par
robby3 11-04-07 à 17:46

Bonjour à tous,voila une liste d'exercice que je vous soumet,dans le cadre de mes révisions,j'aurais besoin de votre aide et ensuite si possible de vos explications:

\rm a)\Bigint_{0}^{1} \frac{tan(x)-1}{x^{\frac{5}{2}.sin(x)}} dx \\ \\ b)\Bigint_{0}^{1} \frac{ln(x)}{(1+x)^2} dx \\ \\ c)\Bigint_{0}^{1} \frac{(x-1)}{ln(x)} dx \\ \\ d)\Bigint_{0}^{1} \frac{ln(x)}{\sqrt(x(1-x)^3)}dx \\ \\ e)\Bigint_{-1}^{1} x.\sqrt(\frac{1-x)}{1+x}) dx \\ \\ f)\Bigint_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+exp(x))(1+exp(-x))}

Je vous remerci d'avance de votre aide.dés que je trouve quelque chose,je le poste!!

Posté par
robby3re:Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:08

pour le b):
IPP:
\rm u=ln(x),v'=\frac{1}{(1+x)^2} \\ \Bigint_{0}^{1} \frac{ln(x)}{(1+x)^2}=[\frac{-ln(x)}{1+x}]_{X}^1 + \Bigint_{X}^{1} \frac{1}{x(1+x)} dx= \\ \frac{ln(X)}{1+X}-ln(\frac{X}{1+X})=ln(X)(\frac{-X}{1+X})+ln(1+X)->0 quand X->0

est-ce correct? je suis pas sur de la fin...

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:18

POur la b), tu intègres une fonction continue négative non identiquement nulle, tu devrais trouver un résultat strictement négatif....

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:23

Bonjour lafol,

euhh c'est pas faux...
vois tu mon erreur?

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:27

Tu as oublié la borne 1 dans ton intégrale : ln(1/(1+1))ne vaut pas 0 ....

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:28

arf oui!! je reprend ça.

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:35

ok alors je trouve ça:
\rm \frac{ln(X)}{1+X}-\Bigint_{X}^{1} \frac{1}{x(1+x)} dx \\ \\ =\frac{ln(X)}{X}+[ln(\frac{X}{1+X})]_{X}^1 \\ \\ =\frac{ln(X)}{1+X}+(ln(\frac{1}{2})-ln(\frac{X}{1+X})) \\ \\ =ln(X)(-\frac{X}{1+X})+ln(1+X)-ln(2)->-ln(2) qd X->0
voila,je crois que c'est bon.

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:39

ça me parait mieux, en effet

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:43

Pour f : astuce : 3$\frac{1}{(1+e^x)(1+e^{-x})}= \frac{e^x}{(1+e^x)(e^x+1)} forme u'/u²

Posté par
jeansebre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:50

La a) le numerateur est equivalent à x3/3 , le denominateur à x 5/2 * x (tu as du te tromper pour le sin x) et donc le rapport est equivalent à 1/3 (x ^-1/2)qui est intégrable entre 0 et 1.

sauf erreur.

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:52

merci je note mais avant je crois que j'ai un truc pour d) je suis pas sur,tiens voila ce que j'ai fais:

\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{ln(x)}{\sqrt(x(1-x)^3)} dx \\ =\Bigint_{0}^{1} \frac{ln(x)}{x^{\frac{1}{2}}.(1-x)^{\frac{3}{2}}}dx \\ \le \Bigint_{0}^{1} \frac{ln(X)}{\sqrt(x)} dx \\ =[2ln(x)\sqrt(x)-4\sqrt(x)]_X^1->-4 qd X->0

mais je sais pas si ça marche parce qu'en on regarde l'integrale de départ on voit qu'il y a un probleme en 0 mais aussi en 1!!

Merci de m'indiquer si mon raisonnement est correct

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:55

comme tu le dis, il y a aussi un problème en 1 .... il faudrait intégrer de epsilon à A et faire tendre (epsilon, A) vers (0;1)
en plus, je ne suis pas convaincue par ta majoration ? j'aurais mis l'inégalité dans l'autre sens ?

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 18:59

moi non plus je suis pas convaincu!!

je laisse de coté,je fais ceux que vous m'avez indiqués....

\rm \Bigint_{0}^{\infty} \frac{exp(x)}{(1+exp(x)^2} dx \\ =[-\frac{1}{1+exp(x)}]_0^{\infty}->\frac{1}{2}
est-ce correct?

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:03

Il me semble, oui, mais l'écriture ne me parait pas très rigoureuse .... où on montre la convergence AVANT, ou on intègre de 0 à A PUIS on fait tendre A vers l'infini

Posté par
lafol Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:04

Je vais m'occuper de préparer le repas, j'espère que d'autres prendront le relais ...

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:09

ok d'accord pour la rédaction,j'essaierais de faire un effort.

je poursuis avec l'indication de Jeanseb, les équivalents:

\rm tan(x)<=>\frac{x^3}{3} \\ sin(x) <=> x \\ donc \frac{tan(x)-1}{x^{\frac{5}{2}sin(x)}}<=> \frac{1}{3\sqrt(x)}
ensuite on integre l'équivalent...

\rm \Bigint_0^1 \frac{1}{3\sqrt(x)} dx \\ =\frac{2}{3}
donc par comparaison d'intégrales de signe constant sur [0,1] (j'espere que c'est vrai!)

on a la convergence de l'intégrale de départ?
c'est bien ça?

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:09

>> robby3 :

J'ai une question :

Tu n'as pas de logiciel de calcul formel ou une calculatrice pour vérifier tes résultats ?

A moins que justement tu préfères venir ici pour confronter ton raisonnement avec d'autres personnes ...

Romain

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:10

(comment fait-on les petits équivalents..cad les vagues en latex...merci d'avance)

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:13

si j'ai maple mais je viens ici pas pour le résultat mais pour voir si j'ai bien compris et si je sais faire des exercices comme ça,c'est pour réviser et comme ce sont des exercices dont je n'ai pas la correction,venir les faire sur l'ile me permet de les bosser et d'avoir un exemple de raisonnement sur différents cas...et puis j'ai intéret a en faire beaucoup...(en plus maple ne donnent pas toujours la raiponse,quand on a des majorations faut "les voir")
(mais si ça dérange quelqu'un je peux m'entrainer tout seul? c'est juste moins attractif vu que j'ai pas la correction pour comparer)

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:15

robby3 >>

J'ai jamais dis que ça me dérangais au contraire !! Je trouve àa très bien de s'entraîner !

Bon courage pour tes révisions, moi je vais approfondir les miennes aussi :D

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:16

ok d'accord, j'en ai pour un moment!!
Bonnes chances pour les concours(je sais que CCP c'est le 23...) alors bonnes révisions à toi aussi.

Posté par
Fractalre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:21

Bonjour,

Citation :
(comment fait-on les petits équivalents..cad les vagues en latex...merci d'avance)

Il faut utiliser la commande \sim : \sim
Fractal

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:22

Salut fractal, merci pour la commande!!

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:25

Merci robby3 ...

Citation :
je sais que CCP c'est le 23...

Et Mines c'est le 18 ... :D

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:31

ok je prends note!!
bonne chance alors si tu passes les 2!!

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:34

euhh est-ce qu'on sait calculer \int \frac{1}{ln(x)} dc??

je cherche le c).

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:34

*dx...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergences d'intégrales. 11-04-07 à 19:52

Bonjour robby3 ;
4$\red\fbox{\int_{0}^{1}\frac{x-1}{ln(x)}dx=ln(2)}.
une démonstration:
Notons I cette intégrale , avec le changement de variable \fbox{t=-ln(x)} on a:
3$\fbox{I=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}dt=\lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A}\frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}dt}
3$\fbox{\int_{0}^{A}\frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}dt=\int_{0}^{A}\frac{1-e^{-2t}}{t}dt-\int_{0}^{A}\frac{1-e^{-t}}{t}dt} (dans la première intégrale faire le changement \fbox{t\to2t}) on obtient:
3$\blue\fbox{\int_{0}^{A}\frac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}dt=\int_{A}^{2A}\frac{1-e^{-t}}{t}dt=ln(2)-\int_{A}^{2A}\frac{e^{-t}}{t}dt} (sauf erreur)

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:56

j'essaye la e) avant d'aller manger!!

\rm \Bigint_{-1}^{1} x.\sqrt(\frac{1-x}{1+x}) dx \\ =\Bigint_{-1}^0 x.\sqrt(\frac{1-x}{1+x}) dx+\Bigint_{0}^1x.\sqrt(\frac{1-x}{1+x}) dx \\

ensuite pour la deuxieme,je ne suis pas sur de ce que je fais:

\rm \Bigint_{0}^1 x.\sqrt(\frac{1-x}{1+x})dx \le \Bigint_{0}^1 x dx (sauf erreur d'inatention)

ensuite pour la premier j'ai recours aux equivalents,la non plus je suis pas sur,je tente:


\rm \sqrt(\frac{1-x}{1+x}) \\ \\ =(\frac{1-x}{1+x})^{\frac{1}{2}} \\ \\ =exp(\frac{1}{2}(ln(1-x)-ln(1+x)))\sim exp(\frac{1}{2}(-x-\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2))) \\ =exp(-x+o(x))\sim 1-x+o(x)

puis on multiplie par x et on integre...
est-ce correct?

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 19:58

Bonsoir Elhor_Abdelali,
merci pour votre réponse.
Existe t-il une méthode moins farfelu qu'en faisant deux changement de variables??
c'est pas que ça me parait compliqué mais un ti peu quand meme
Encore merci de votre aide.

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 20:02

Elhor

Tout à fait d'accord avec toi. Même résultat pour moi.

robby3 : je ne pense pas qu'il y ait plus simple ...

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 20:05

ok d'accord Elhor er Lyonnais...bah celle la je vais la cocher!!

changement de variable interressant et convergence vers ln(2)...ça peut toujours etre interressant.

( a ce propos,vous trouver pas que beaucoup d'integrales ou de somme convergent vers ln(2) ou -ln(2)...c'est bizarre ça quand meme...)
je reviens de suite je vais manger.
Merci pour vos réponses!

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 20:33

quelqu'un a t-il une ramrque à faire sur le e) ??
je sais, pas si mes résultats sont correct(ça ressemble un peu à du bricolage...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 20:45

Bonsoir à tous

robby > on ne peut pas appliquer une exponentielle à des équivalents.
En fait, c'est simplement un critère de Riemann.

Par ailleurs, pour le calcul, pour ce genre d'intégrale, c'est toujours le même qu'il faut faire.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 20:47

bonsoir Kaiser(ça c'est passé comment aujourd'hui? proba ou algebre?)

je me disais aussi...
un critere de Riemann?? tu veux dire quoi par la?
comparaison avec une integrale de Riemann??

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:00

Citation :
comparaison avec une integrale de Riemann??


oui !

Kaiser

P.S : En fait, on avait le choix entre proba et analyse numérique et j'ai choisi analyse numérique.
Bref, des calculs bourrins mais bon je pense que je n'avais pas trop le choix.
Enfin, on verra dans un mois ...

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:04

Bonsoir Kaiser

Désolé, je débarque un peu mais :

Tu as passé quels concours ?

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:06

Comapraison intégrale de Riemann ??!!
alors la je vois trop pas!!

attend integrale de riemann qui nous interesse ici c'est ça:

\rm \Bigint_{0}^{1} x^{\alpha} dx qui converge ssi \alpha<-1 ?!!
une piste supplémentaire?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:06

salut Romain

J'ai passé le concours de 3ème année de l'ENS Cachan.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:07

robby > essaie de trouver un équivalent en -1.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:08

Ok merci Kaiser

Tu nous tiendras au courant ^^

Bonne soirée, je retourne réviser ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:11

OK, on verra dans un mois !

Bon courage pour tes révisions ! (les mines en premier si je ne m'abuse, non ? )

Posté par
lyonnaisre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:12

Oui

Dans une semaine tout pile :D

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:15

bon, équivalent en -1,je sais pas i j'ai pigé...

\rm \frac{\sqrt(1-x)}{\sqrt(1+x)}=\sqrt(1-x).(1+\frac{x}{2}+o(x))
je pense qu'on peut s'arréter à l'ordre 1...non?
l'équivalent cherché est alors celui la non:

\frac{\sqrt(1-x)}{\sqrt(1+x)} \sim \sqrt(1-x)
en -1..??

c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:17

Romain >

Robby > pas du tout, tu as tout de même un dénominateur qui tend vers 0.

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:23

ok....bon...

non je vois pas la...j'ai compris pourquoi mon Dl est faux ,mais je vois pas comment m'arranger pour "ça tende vers 0"...

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:25

pas besoin de DL :

\Large{\sqrt{1-x}\sim 2} donc \Large{\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\sim \frac{2}{\sqrt{1+x}}}


Kaiser

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:32

rhoo!! la honte, tout ça pour trouver 2!!

\rm x.\sqrt(\frac{1-x}{1+x}) \sim \frac{2x}{\sqrt(1+x)}aprés IPP?? non?
on trouve ça:

\rm [\frac{4}{3}.\sqrt(1+x).(x-2)]_{-1}^1 =\frac{-4}{3}.\sqrt(2)

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:34

Non pas besoin d'IPP. Tu peux directement dire que ça converge (grâce à l'ami Riemann )

Sinon, que désigne ton dernier calcul ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Convergences d'intégrales 11-04-07 à 21:36

bah justement comme je voyais pas l'ami Riemann j'ai fait IPP...

mon dernier calcul c'était l'intégrale de \frac{2x}{\sqrt(1+x)} dx

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