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Niveau Licence Maths 1e ann
Démonstration avec surjectivité
Posté par Thais13
Bonsoir,
J'essaye en vain de résoudre la question suivante.
Soit E un ensemble non vide. On considère deux parties A et B de E et on définit
f : P(E)→P(E).
X→ (A ∩ X) ∪ (B ∩ Xc)
(Xc désigne le complémentaire de X)
Mon problème consiste à montrer que f surjective ⇒ A ∪ B = E.
Je mets ici le début de ma démonstration :
Soit x 
P(E).
f est surjective alors il existe X dans P(E) tel que Y=f(X)
(Je me dis qu'on pourrait peut-être poser X = {x} et Y = {y})
Soit z A ∪ B, c'est-à-dire z A ou z B.
Si z A, alors z E, et si z B, alors z E (d'après l'énoncée).
Dans tous les cas z E donc on en déduit que A ∪ B 
E.
Mais pour montrer l'inclusion inverse, je suis bloquée... Pourrais-je avoir de l'aide ?
Merci d'avance 
Bonjour Thais13.
Citation :
donc on en déduit que A ∪ B E
donc on en déduit que A ∪ B
ETu t'es fatiguée pour rien puisque A et B sont des parties de E.
Ah d'accord, ce n'était pas plus compliqué que ça !
Comme f est surjective, pour tout Y P(E), il existe X P(E) tel que Y = f(X).
Y = f(X) = (A ∩ X) ∪ (B ∩ Xc).
On a (A ∩ X) A et (B ∩ Xc) B
Donc pour tout X P(E), Y = f(X) (A ∪ B).
Comme Y P(E), Y E.
Donc E (A ∪ B).
Ma rédaction est-elle correcte ?
salut
franchement je ne comprends pas pourquoi faire (rédiger) compliqué quand on peut faire simple ...
soit E un ensemble non vide et A et B deux parties de E
soit
a/ comme l'a dit jsvdb :
b/ f est surjective =>(1) E est atteint par f (<=> E possède un antécédent) =>(2)
(1) est la définition
(2) se déduit de a/
(3) est trivial puisque la réciproque est évidente : l'union de deux parties (d'un ensemble) est une partie (de cet ensemble)