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Démonstration du théorème de Cantor

Posté par
Magmaul 01-10-17 à 18:41

Bonjour à tous,
Je ne suis pas sûr et certain que ma démonstration du théorème de Cantor soit juste, donc pourriez-vous me donner votre avis s'il vous plait ? Et si m'a démonstration n'est fausse, serait-il possible de montrer mes erreurs sans me donner la solution s'il vous plait ?

Le théorème est le suivant :
Il n'existe pas de surjection de E sur \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E) .

Voici ma démonstration :
Soient l'application f:E\rightarrow \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E) et A:=\left\{x\in E:x\notin f(x)\right\} une partie de E.
Supposons qu'il existe une surjection de E sur \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E) .
Donc \exists x_0\in E tel que f(E)=A .
Donc il existe deux cas possibles :
- Premier cas : x_0 \in A \Rightarrow x_0 \notin f(x_0) \Rightarrow x_0 \notin \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E)
- Second cas : x_0 \notin A \Rightarrow x_0 \notin E \Rightarrow x_0 \notin \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E)
Donc dans les deux cas, il y a contradiction avec la supposition.
Donc il n'existe pas de surjection de E sur \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E) .


Merci d'avance !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 01-10-17 à 19:26

Bonjour,
C'est bon mais le début est à réordonner, et il y a une petite coquille.

Supposons qu'il existe une surjection f de E sur \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E) .
Soit A = \left\{x\in E:x\notin f(x)\right\} . A est une partie de E.
Donc \exists x_0\in E tel que f(x_0)=A .

Posté par
Magmaulre : Démonstration du théorème de Cantor 01-10-17 à 20:45

Bonsoir Sylvieg,

Merci beaucoup d'avoir répondu et d'avoir rectifié mes erreurs de rédaction

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 01-10-17 à 21:54

En fait, j'ai mieux relu la fin et il faut aussi rectifier les deux lignes avec x_0 \notin \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}(E)
Je vous laisse essayer de les changer.

Posté par
Magmaulre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 01:29

Oui, en effet, après la petite rectification au début de ma démonstration, le reste devenait incohérent...

Du coup, pour le premier cas :
x_0 \in A \Rightarrow x_0 \notin f(x_0) \Rightarrow x_0 \notin A, ce qui est contradictoire avec la conséquence de la supposition.

Et pour le second cas :
x_0 \notin A \Rightarrow x_0 \notin E \, et \,f(x_0) \in A, ce qui est aussi contradictoire avec la conséquence de la supposition.

C'est correct désormais ?

Posté par
Magmaulre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 01:40

En fait, pour le premier cas,  c'est même le début de l'implication qui est incohérent avec la fin de l'implication...

Sinon, pour le deuxième cas, je me rectifie :
x_0 \notin A \Rightarrow x_0 \notin E \Rightarrow x_0 \in f(x_0) \Rightarrow x_0 \in A, ce qui rend aussi l'implication incohérente.

Posté par
Magmaulre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 01:45

Dernier raffinement : pour la second cas encore une fois, il faut retirer
x_0 \notin E , puisqu'un élément hors de A peut très bien appartenir quand même à E, car A \subset E

Posté par
luzakre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 08:30

Bonjour !
Les contradictions que tu obtiens sont en fait :
x_0\notin A\implies x_0\notin f(x_0)\implies x_0\in A
x_0\in A\implies x_0\notin f(x_0)\implies x_0\notin A

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 09:04

Bonjour luzak,
Une petite coquille dans la première ligne : x_0\notin A\implies x_0\in f(x_0)

En effet : A = \left\{x\in E:x\notin f(x)\right\}

Je reprends en détaillant beaucoup et en commençant par celui des deux cas que je trouve le plus facile.
x0 E et A E ; donc x0 A ou x0 A .

Si x0 A alors, d'après la définition de A , on a x0 f(x0) . Or f(x0) = A ; donc x0 A . Contradiction.

Si x0 A alors, d'après la définition de A , on a x0 f(x0) . Or f(x0) = A ; donc x0 A . Contradiction.

Posté par
luzakre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 09:25

Bonjour Sylvieg

Citation :

Une petite coquille dans la première ligne :

Il ne me semble pas, ma première ligne était
Citation :

x_0\notin A\implies x_0\notin f(x_0)\implies x_0\in A

Puisque A=f(x_0), si x_0\notin A on a aussi x_0\notin f(x_0) et par définition de A on a la contradiction x_0\in A.

Mais je reconnais que ces mélanges de \in,\notin et l'ordre dans lequel on écrit les arguments de démonstration perturbent un peu.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 09:32

D'accord
C'est une sorte d'autoréférence, et ça perturbe...

Posté par
Magmaulre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 11:22

Merci beaucoup de m'avoir guidé, tout est clair pour moi maintenant

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 02-10-17 à 11:32

De rien, et à une autre fois sur l'île avec un sujet aussi intéressant

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 03-10-17 à 07:10

Bonjour,
En jetant un dernier œil sur ce sujet, une autre manière de présenter la contradiction m'est venue :

Par définition de A , pour xE, on a x A x f(x) .

Si A = f(a) alors x f(a) x f(x) .

a est un élément de E ; donc a f(a) a f(a)

Une remarque : A peut être vide. Ce n'est pas gênant.

Posté par
carpediemre : Démonstration du théorème de Cantor 03-10-17 à 09:53

salut

soit f une surjection de E dans P(E)

posons  A = \left\{x\in E:x\notin f(x)\right\}

f est une surjection donc il existe un élément a de E tel que f(a) = A

a \in A => a \notin f(a) or f(a) = A donc a \in A  et  a \notin A

a \notin A => a \in f(a) or f(a) = A donc a \notin A  et  a \in A


Posté par
ThierryPomare : Démonstration du théorème de Cantor 03-10-17 à 10:59

Bonjour,

Il existe une injection x\mapsto\{x\} de E dans \mathfrak{P}(E), de sorte que \mathrm{card}\,E\leqslant\mathrm{card}\,\mathfrak{P}(E). Pour montrer que \mathrm{card}\,E\ne\mathrm{card}\,\mathfrak{P}(E), soit f:E\to\mathfrak{P}(E) arbitrairement choisie (inutile de supposer cette dernière surjective !). En vertu du schéma d'axiomes de compréhension (ou du critère C51 du collectif Bourbaki),

A=\{x:x\in{E}\mbox{ et }x\not\in{f(x)}\}

est bien un ensemble (éventuellement vide !) qui appartient à \mathfrak{P}(E), par définition même de A. Remarquons immédiatement que

E=A\cup(E-A)\mbox{ et }A\cap(E-A)=\emptyset

Soit donc a\in{E} arbitrairement choisi. Alors,

\left\{\begin{array}{llllllllllllll}a\in{A}&\Rightarrow&a\not\in{f(a)}&\Rightarrow{f(a)\ne{A}}\\a\in{E-A}&\Rightarrow&a\in{f(a)}\mbox{ et }a\not\in{A}&\Rightarrow{f(a)\ne{A}}\end{array}\right.

La méthode de disjonction des cas et l'arbitraire sur a montrent que f ne peut pas être une surjection de E sur \mathfrak{P}(E) ; l'arbitraire sur f montre qu'il n'existe aucune surjection de E sur \mathfrak{P}(E).

Il n'y a donc aucune raison d'effectuer un raisonnement par l'absurde.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démonstration du théorème de Cantor 03-10-17 à 11:54

Oui, tout repose sur la définition de l'ensemble A . Et c'est plus "joli" sans absurde
Mais, avec ou sans, le raisonnement utilisé n'est pas toujours facile à appréhender.
J'essaye de détailler un peu, avec f une application quelconque de E vers P(E) .

A=\{x:x\in{E}\mbox{ et }x\not\in{f(x)}\}

Pour x dans E ,
on a d'une part x A x f(x) et d'autre part x A x f(x)

a étant un élément de E , soit il est dans A , soit il n'est pas dans A .

1er cas : a A ; donc a f(a) . L'élément a est dans A sans être dans f(a) ; donc A f(a) .

2nd cas : a A ; donc a f(a) . L'élément a est dans f(a) sans être dans A ; donc f(a) A .

Dans les deux cas A f(a) .
A n'a pas d'antécédent par f ; l'application f n'est donc pas surjective.

Posté par
carpediemre : Démonstration du théorème de Cantor 03-10-17 à 18:22

Citation :
Remarquons immédiatement que  E=A\cup(E-A)\mbox{ et }A\cap(E-A)=\emptyset

c'est une tautologie ...

je ne fais nullement de raisonnement par l'absurde : c'est simplement une disjonction de cas ... enfin si (en supposant f surjective !!)

mais comme tu le remarques effectivement : nul besoin de supposer quoi que ce soit sur f

la contradiction est indépendante de f...


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