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Niveau Maths sup
Démonstration équivalence d'ensembles
Posté par 300
voilà ce que je dois démontrer :
(A
B=AC et A
B=AC) 
B=C
Voilà ma démonstration j'aimerai seulement savoir si elle est correcte.
1er sens : Si B=C, alors AuB=AuC et AnB=AnC, par logique.
2nd sens : montrons par la contraposée que (AB=AC et AB=AC) 
B=C
La contraposée est : non(B=C) non(AB=AC et AB=AC)
On suppose : 
x,(x
B et x
C) et (xA ou xA)
alors xAnB mais x AnC donc AnB
AnC
alors xAuB mais x AuC donc AuBAuC
donc lorsque BC on a non(AB=AC et AB=AC)
donc par la contraposée : (AB=AC et AB=AC) B=C
Donc (AB=AC et AB=AC) B=C
Première erreur : le fait que B ≠ C n'implique pas l'existence d'un élément x tel que tu l'affirmes.
Il faut juste ajouter que le role symétrique de B et C permet de le choisir dans B et pas dans C. (sans être obligé de traiter l'autre cas : x dans C mais pas dans B)
Tu as montré que s'il existait un x qui est dans B et pas dans C, alors tu as ce que tu veux. Il faut ensuite traiter le cas symétrique, s'il y a un x qui est dans C et pas dans B. Le raisonnement est complètement identique, donc tu peux essayer de l'expédier par un simple "de même", mais pas certain que ton prof apprécie.
bonjour
tu peux aussi montrer la double inclusion, plutôt que de faire une contraposée : si x est dans B, il est dans A union B, donc dans A union C. là s'il est dans C c'est terminé, mais s'il est dans A, c'est qu'il est dans A inter B, donc dans A inter C, donc dans C de toutes façons ....
et comme B et C jouent des rôles symétriques, l'autre inclusion se traite en échangeant partout B et C ....
Bachstelze >>> Très bien j'ai compris, je suis pas certain que le prof apprécierait mais ce n'est pas un travail à rendre, je te remercie !
Lafol >>> J'ai compris également l'idée, mais je vais rester sur ma démo, je te remercie quand même !
ici une démonstration plus simple
C = C ( A C )
= C ( A B ) (puisque A B = A C )
= ( A C ) ( B C )
= ( A B ) ( B C ) ( puisque A B = A C )
= B ( A B ) (factorisation )
= B