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Niveau maths sup
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Démonstration équivalence ensemble

Posté par
Nowah
30-09-20 à 21:00

Bonsoir à tous,
En relisant mon cours sur les ensembles je me suis demandé comment démontrer l'équivalence suivante : A\subset B \Leftrightarrow  A\cap B=A
\Rightarrow , Supposons A\cap B = A
 \\ Soit  x\in A.  On  sait  que  A=A\cap B
 \\ Donc  x\in A  et  x\in B
 \\ Donc  \forall x \in A,  x\in B
 \\ 
 \\ \Leftarrow ,  Supposons A\subset B
 \\ Montrons  que A\cap B = A
 \\ Raisonnons  par  double  inclusion
 \\ A\subset A\cap B ,  RAS
 \\ Montrons  A\cap B \subset A
 \\ Soit  x\in A\cap B 
 \\ Donc  x\in A   et  x\in B

J'en suis arrivé à ce point dans mon raisonnement mais je suis maintenant bloqué, quelqu'un pourrait m'aider svp ?

Posté par
Zormuche
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 21:10

Bonsoir
pas d'images d'énoncé ici

sinon, tu sais déjà que A\cap B \subset A, que reste-t-il à montrer ?

Posté par
Zormuche
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 21:12

au temps pour moi, ce n'est pas une image, en plus j'ai pas regardé ce que tu as déjà fait

tu dois donc montrer A\cap B \subset A, c'est une inclusion triviale qui est tout le temps vraie

soit x\in A\cap B, alors ...

Posté par
Nowah
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 21:50

Je ne vois vraiment pas comment arriver à la conclusion que A\cap B \subset A avec les hypothèses faites.

Posté par
Zormuche
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 22:02

il n'y a pas besoin des hypothèses, comme je t'ai dit c'est vrai quels que soient les ensembles A et B

Tu pars de x\in A\cap B, qu'est-ce que ça veut dire ? comment conclure que x\in A ?

Posté par
Ramanujan
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 23:18

Fais un dessin avec des patates, tu verras que c'est évident.

Posté par
lake
re : Démonstration équivalence ensemble 30-09-20 à 23:25

Les « évidences », c'est comme le calcul mental : il faut s'en méfier; n'est-ce pas OShine ?

Posté par
Ramanujan
re : Démonstration équivalence ensemble 01-10-20 à 00:13

Ici c'est évident.

Si x \in A \cap B alors x \in A \ \text{ET} \ x \in B et à fortiori x \in A

Posté par
Zormuche
re : Démonstration équivalence ensemble 01-10-20 à 00:32

pas mal, bravo

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration équivalence ensemble 01-10-20 à 09:18

Bonjour
Ce qui m'inquiète dans le post initial c'est l'autre inclusion, présentée comme "RAS"...
Si celle qui se prouve aisément et est toujours vraie pose autant de problèmes au questionneur, comment la seule dans laquelle l'hypothèse "A contenu dans B" est utile peut-elle être "RAS"? Je me demande s'il ne confond pas intersection et réunion ?

Posté par
Zormuche
re : Démonstration équivalence ensemble 01-10-20 à 12:37

Je me suis posé la même question... Il suffit de voir ma première réponse au fil

Posté par
Kernelpanic
re : Démonstration équivalence ensemble 02-10-20 à 10:15

Bonjour,

Ramanujan @ 01-10-2020 à 00:13

Ici c'est évident.

Si x \in A \cap B alors x \in A \ \text{ET} \ x \in B et à fortiori x \in A


on aurait aimé que le posteur initial fasse ce raisonnement par lui-même (et surtout il faut bannir les "évident" en maths, je pense que tu sais tout particulièrement pourquoi )

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