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Démonstration par contraposée

Posté par
IamMe 11-09-20 à 10:28

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose soucis :

Montrer par contraposée que si n est un entier premier avec 6 alors n est impair. (On rappelle que n est un entier premier avec l'entier p si n et p n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1.)

Déjà j'ai un peu du mal à comprendre "n est un entier premier AVEC 6".  6 a plusieurs diviseurs...

Ensuite si j'essaye de traduire l'énoncé à l'aide des implications :
n un entier premier avec 6 n est impair.

Pour m'aider j'ai nommé ces propositions par P et Q.

P : (n un entier premier avec 6) et Q : (n est impair)

P Q non Q non P

non (n est impair) non (n est un entier premier avec 6)
Est ce que du coup ça veut dire :
n est pair n est un non entier ?
J'ai un doute...

Posté par
XZ19re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 10:42

Pour commencer peux tu écrire la définition de p et q sont premiers entre eux?

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 10:47

Salut,

L'implication qu'on te demande de montrer est le suivant :

(\forall n\in \N)($pgcd$(n,6)=1\implies n $ est impair $)

Voici un exemple :

Soit A l'ensemble des animaux

(\forall x\in A)(x $ est un labrador$\implies x $ est un chien$) ce théorème est vrai.


La contraposée donne

(\forall x\in A)(x $ n'est pas un chien $\implies x $ n'est pas un labrador$)


Maintenant quelle est la contraposée de :

(\forall n\in \N)($pgcd$(n,6)=1\implies n $ est impair $)

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 10:55

La contraposée :
n est pair n pgcd(n,6) 1    
?

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 10:58

je ne comprends pas ce que tu écris, il faut être précis, tu as bien écrit : n pgcd(n,6) ?

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 11:39

n est un entier premier avec 6.

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 11:39

*n'est pas, plutôt

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 11:47

oui, c'est ça,  dire : pgcd(n,6)\ne 1  c'est dire que n n'est pas premier avec 6.

Maintenant reste à résoudre ton exo.

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:15

Avec une récurrence ?

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:23

non, si n est pair que peut-on dire de $pgcd$(n,6) ?

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:24

Que le PGCD est supérieur à 1 ?

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:36

pourquoi et ensuite conclus !

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:41

Je vois pas comment le démontrer, juste que si n est pair alors pgcd(n,6) = 2

Posté par
IamMere : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:42

*2 ou plus

Posté par
mousse42re : Démonstration par contraposée 11-09-20 à 14:53

ben oui, 2 est un diviseur commun à n et à 6 donc le plus grand diviseur commun à n et à 6 est supérieur ou égal à tous les diviseurs communs à n et à 6


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