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Démonstration par l'absurde d'une proposition

Posté par
holy-calamity 25-10-10 à 15:25

Bonjour à tous

Je poste sur ce forum car j'ai un exo de maths que j'ai commencé mais que je n'arrive pas à finir. Pourriez vous m'aider (et me dire si ce que j'ai fait est juste aussi s'il vous plait)?
Voici l'exo :

Soit n1 un entier naturel avec n+1 réels x0, x1 .... xn de [0;1] vérifiant :
0x0x1.......xn
On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante :
"Il existe deux de ces réels distants de moins de 1/n".

1- Ecrire à l'aide de quantificateurs et des valeurs xi-xi-1 une formule logique équivalente à cette propriété.
Donc j'ai dit :
Soient x0, x1 ,....., xn tels que k{0;1;....;n} oxk1 et 0x0x1.......xn on a :
i{0;1;....;n} tel que 0xi-xi-11/n


2- Ecrire la négation de cette formule logique.
Ça je n'en suis pas trop sûr mais j'ai dit :
i{0;1;....;n} on a xi-xi-1[smb]>1/n


3- Rédiger une démonstration par l'absurde de cette propriété (on pourra montrer xn-x0>1)
Là je ne sais pas du tout comment faire. Enfin si on fait par l'absurde je suppose qu'on va commencer par un truc du style xn-x0


Merci de votre aide

Posté par
DOMOREAdémonstration par l'absurde d'une proposition 25-10-10 à 15:33

bonjour,
on a donc x_n-x_0\ge \sum_{i=0}^{n-1} (x_{j+1}-xj) \ge n \times \frac{1}{n}

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 25-10-10 à 15:36

Bonjour

1. Puisque tu mets x_{i-1} dans ta formule i ne peut varier que de 1 à n. Par ailleurs, comme on te dit que la suite est classée, il est inutile de mettre 0\leq x_i-x_{i-1} (c'est important pour la négation qui suit) Donc

\exists i\in\{1,...,n\} tel que x_i-x_{i-1}\leq \frac{1}{n}

2. Maintenant, la négation de CETTE proposition est bien celle que tu proposes.

3. Remarque que x_n-x_0=(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+...+(x_1-x_0)

Posté par
holy-calamityre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 25-10-10 à 18:08

Merci à vous deux pour vos réponses.
Je viens d'essayer ce que tu m'as dit Camelia, et en fait je pense avoir trouvé quelque chose grâce au commentaire de DOMOREA, j'ai noté :

xn-xn-1=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+....+(x1-x0)
Et de là on dit que chaque (xn-xn-1) est supérieur à un nombre D et de là on a :
xn-xn-1=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+....+(x1-x0)> nD

Et on dit que D=1/n

Est-ce que ce raisonnement est bon? Si oui, comment on fait pour amener que chaque (xn-xn-1) est supérieur à D et que ce nombre D vaut 1/n?

Merci

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 25-10-10 à 23:09

salut

quel est la négation de :

Citation :
"Il existe deux de ces réels distants de moins de 1/n".
?

Posté par
holy-calamityre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 26-10-10 à 10:37

La négation de "il existe deux de ces réels distants de moins de 1/n" est celle que j'ai écrit (question 2) c'est à dire :
i{0;1;...;n} on a xi-xi-1>1/n

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 26-10-10 à 16:51

donc en prenant D=1/n que vaut xn-x0 ?

Posté par
lafol Moderateurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 26-10-10 à 17:07

Bonjour
c'est moi ou ceci n'est pas un raisonnement par l'absurde, mais un raisonnement par contraposée ?

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 26-10-10 à 17:13

ce n'est pas toi....

Posté par
holy-calamityre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 26-10-10 à 22:46

Ah ben probable, le prof nous a donné ça comme énoncé, il a dit de démontrer par l'absurde...

Posté par
lafol Moderateurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 27-10-10 à 00:08

la plupart des profs ignorent la différence entre les deux ....

Posté par
holy-calamityre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 27-10-10 à 00:10

Mdrrr et du coup je fais comment?
Est-ce que mon raisonnement était juste? Est-ce que je peux répondre de la sorte ou pas?

Posté par
lafol Moderateurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 27-10-10 à 00:13

oui, tu réponds comme ça : c'est ce qu'il attend, et c'est un raisonnement correct. mais ce n'est pas exactement une démo par l'absurde

Posté par
holy-calamityre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 27-10-10 à 00:27

D'accord merci
Par contre je l'amène comment le fait que D=1/n?
Je le dit comme ça sans le montrer? :s

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 27-10-10 à 11:01

pourquoi introduire un D alors que l'énoncé te donne 1/n ?

Posté par
wnxbcvContinuons la question 3 ... 31-10-10 à 23:49

Bonjour à tous, je me permet de reprendre ce post car j'ai à peu près le même exo à faire ...
Je suis ok avec vous pour les questions 1 et 2 ...
Mais je n'ai pas compris comment faire pour la question 3.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 01-11-10 à 14:16

Bonjour

3. Si on avait x_{j+1}-x_j > 1/n pour tous les j, on aurait

x_n-x_0=(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+...+(x_1-x_0) > n\times (1/n)=1

ce qui est impossible car 0\leq x_0\leq x_n\leq 1

Posté par
eristofj'ai une 4ème questions 15-10-11 à 16:46

bonjour, on ma donné le même exercice, sauf que notre prof nous a rajouté une 4ème questions qui est : Démontrer le même résultat en utilisant l'exercice des tiroirs

l'un de vous peut m'éclairer s'il vous plait :s

Posté par
Stanleere : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 21:53

Bonsoir !
Je comprend bien le raisonnement mais j'ai un problème avec la 3) : je ne comprends pas pourquoi on multiplie 1/n par n après avoir trouvé à uoi était égal xn-x0 :/
Quelqu'un pourrait il m'expliquer svp Merci beaucoup !

Posté par
jsvdbre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 22:28

Bonsoir Stanlee.

Q1 : Si j'ai n+1 point distincts de [0,1] alors combien forment-ils de sous-intervalles consécutifs.
Q2 : Si la distance de deux points consécutifs est toujours strictement supérieure à 1/n, que se passe-t-il ?

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 22:33

Bonsoir,

par contre on a bien un raisonnement par l'absurde et non par contraposée

Posté par
jsvdbre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 22:41

Salut Mousse.
Oui, j'y ai veillé; d'où question subsidiaire : quelle serait la formulation pour le même problème, mais pour une démonstration par contraposée ?

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:02

La proposition initiale est :

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ x_0\le x_1\le \cdots \le x_n \implies \exists (x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|\le \dfrac{1}{n}\bigg]

La contraposée donne

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ \forall (x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|> \dfrac{1}{n} \implies x_0>x_1 $ ou $ x_1>x_2 $ ou $ \cdots x_{n-1}>x_n\bigg]

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:06

en me relisant je crois ne pas comprendre ce que j'ai écrit

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:11

Correction :

La proposition initiale est :

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ 0\le x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1 \implies \exists (x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|\le \dfrac{1}{n}\bigg]

La contraposée donne

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ \forall (x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|> \dfrac{1}{n} \implies 0>x_0 $ ou $ x_1>x_2 $ ou $ \cdots 1>x_n\bigg]

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:13

soit 0 \le x_0 \le x_1 \le x_2 \le ... \le x_n \le 1

d'une part x_n \le 1

d'autre part x_n = \sum_1^n (x_k - x_{k - 1}) + x_0

si \forall k \in [[1, n]]  :  x_k - x_{k - 1} \ge \dfrac 1 n alors x_n \ge 1 + x_0 \ge 1

en jonglant avec le strict il y a de l'absurde dans l'air ...

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:15

En tout cas ça complique pas mal, je préfère le raisonnement par l'absurde :

\exists (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ 0\le x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1 $ et $ \forall(x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|> \dfrac{1}{n}\bigg]

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:22

mousse42 @ 11-09-2019 à 23:11     moi



La contraposée de  :

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ 0\le x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1 \implies \exists (i, j)\in [[0, n]]^2   :  |x_i-x_j|\le \dfrac{1}{n}\bigg]

est

\forall (x_0,\cdots,x_n)\in \R^{n+1} \bigg[ \forall (x_i,x_j)\in \R^2, \;|x_i-x_j|> \dfrac{1}{n} \implies \max {x_i} - \min {x_i} > 1\bigg]

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:34

merci carpediem, mais il semble que la contraposée ait été construite en résolvant le problème, donc à postérori.

La construction à priori t'oblige de prendre la négation de x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1

Et je ne vois pas comment tu déduis que :

\large \neg(x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1)\iff \max {x_i} - \min {x_i} > 1

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:36

J'ai oublié le 0

\large \neg(0\le x_0\le x_1\le \cdots \le x_n\le 1)\iff \max {x_i} - \min {x_i} > 1

Posté par
carpediemre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:42

carpediem @ 11-09-2019 à 23:13

soit \cancel {0 \le} x_0 \le x_1 \le x_2 \le ... \le x_n \cancel {\le 1}

d'une part \cancel {x_n \le 1}

d'autre part x_n = \sum_1^n (x_k - x_{k - 1}) + x_0

si \forall k \in [[1, n]]  :  x_k - x_{k - 1} {\red >}\dfrac 1 n alors x_n {\red >} 1 + x_0 {\red > } 1  {\red \iff \max x_i - \min x_i > 1

en jonglant avec le strict il y a de l'absurde dans l'air ...

Posté par
mousse42re : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:48

ah oui, j'ai compris

Merci

Posté par
jsvdbre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 11-09-19 à 23:52

En français, ça donne que si j'ai n+1 réels qui, successivement, sont espacés de plus de 1/n avec inégalité stricte pour au moins l'un des couples, alors forcément, il y en a un qui sort de l'intervalle [0,1].

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration par l'absurde d'une proposition 12-09-19 à 15:18

Salut à tous! Un revenant!


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