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Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 13:33

Salut lyonnais

Mais en transformant l'écriture de la somme, ca ne donne rien ?

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 13:53

On a :

4$ I = \sum_{k=0}^n \frac{sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})} = Im(J)

avec

4$ J = \sum_{k=0}^n \frac{e^{i[(k+\frac{1}{2})x]}}{sin(\frac{x}{2})}

Or :

4$ J = \frac{1}{sin(\frac{x}{2})}\sum_{k=0}^n e^{i[(k+\frac{1}{2})x]} = \frac{e^{i\frac{x}{2}}}{sin(\frac{x}{2})}\sum_{k=0}^n (e^{ix})^k = \frac{e^{i\frac{x}{2}}}{sin(\frac{x}{2})}.\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}} = \frac{1}{sin(\frac{x}{2})}.e^{i\frac{(n+1)x}{2}}.\frac{sin[\frac{(n+1)x}{2}]}{sin(\frac{x}{2})}

D'où le résultat en prenant la partie imaginaire ...

Ok ?

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 14:45

Ok

Arriverait on au même résultat en faisant

4$I=\sum_{k=0}^n\frac{sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}=\frac{1}{e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}}}[\sum_{k=0}^n e^{i[(k+\frac{1}{2})x]}-\sum_{k=0}^n e^{-i[(k+\frac{1}{2})x]}] ?

Skops

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 15:09

Je pense qu'on arrive  à la même chose en factorisant par l'angle moitié au bon moment

Merci

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 15:15

De rien Skops

Normalement oui, on doit arriver à la même chose, mais ça me semble plus compliqué.

Essai quand même ! (si tu as le courage)

A+

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 15:21

Il n'y a que cette idée de tout calculer qui m'est arrivé au départ donc j'avais fait ^^

Skops

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