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Niveau Maths sup
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Démonstration par réccurence

Posté par
Skops 29-10-07 à 15:33

Bonjour,

Question bête mais faut que je sache

Je dois faire une démo par réccurence sur

4$\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}

Donc avec n+1, cela donne

4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n)x}

Puis en séparant les termes, on a

4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n)x}=\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}+e^{i(2n+2-n)x}

C'est juste ?

Merci

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 15:40

Salut Skops

Citation :
Donc avec n+1, cela donne
4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n)x}


Ce serait pas plutôt

4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x} ?

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 15:52

Ptite erreur effectivement

Ma question portait surtout vers la fin, quand on détache le dernier terme, par quoi remplace t'on quoi

On remplace le k par le dernier terme mais doit on remplacer le n ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 15:58

Je dirais :

4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x}=\sum_{k=0}^{2n}\Big[e^{i(k-n-1)x}\Big]+e^{i(2n+1-n-1)x}+e^{i(2n+2-n-1)x}

4$\sum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x}=\sum_{k=0}^{2n}\Big[e^{i(k-n-1)x}\Big]+e^{inx}+e^{i(n+1)x}

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:01



Mais il n'y a que le n+1 ième terme à enlever non ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:10

Tu as surement raison.

Oui mais k prend 2n+2 valeurs, soit 2 de plus que 2n (c'est mûrement réfléchi ça ). Il faut bien les retrouver quelque part, non ?

Le n+1 ième terme, n'est-ce pas :

4$\sum_{k=2n}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x} ?

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:13

Ou plutôt

4$\fbox{\Bigsum_{k=2n+1}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x}

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:14

par k=2n+2 ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:18

Joker : Appel à un ami. Kaiser, J-P, vous êtes là ?

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:26

Ptet pas si bête ma question

Skops

Posté par
Cauchyre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:29

Salut,

c'est quoi que tu veux montrer par récurrence?

Comme gui_tou te le fait remarquer tu as 2 termes en plus à l'ordre n+1 donc si tu regardes son message de 15h58 et que tu veux faire apparaitre la somme de 0 à 2n il faut en fait prendre les termes de 1 à 2n+1 et tu verras qu'on a rajouté le premier terme e^(-i(n+1)x) et le terme e^(i(n+1)x).

Tu peux aussi remarquer que pour 0<=k<=2n on a -n<=k-n<=n et donc réécrire ta somme comme la somme de e^(ikx) pour k variant de -n à n.

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:37

Salut Cauchy

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 16:49

Donc ça, ce serait faux ?

4$\Bigsum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x}=\Bigsum_{k=0}^{2n}\Big[e^{i(k-n-1)x}\Big]\,+\,\Bigsum_{k=2n+1}^{2n+2}\Big[e^{i(k-n-1)x}\Big]

4$\Bigsum_{k=0}^{2n+2}e^{i(k-n-1)x}=\Bigsum_{k=0}^{2n}\Big[e^{i(k-n-1)x}\Big]\,+\,e^{inx}+e^{i(n+1)x}

Tu proposes de prendre les termes de 1 à 2n+1, est-ce juste dans l'optique de récupérer deux termes similaires \large e^{-i(n+1)x} et \large e^{i(n+1)x} ?


Merci

Posté par
Cauchyre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 17:07

Non il n'y rien de faux la dedans mais ça ne fait pas apparaitre la somme d'ordre n:

3$S_n=\sum_{k=0}^{2n} e^{i(k-n)x}.

Ton premier terme est exactement cette somme divisée par e^(ix) par contre.

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 17:08

Ah oui, bien vu

Posté par
Cauchyre : Démonstration par réccurence 29-10-07 à 17:11

Mais ce n'est pas le plus commode, en utilisant mon message du dessus on peut faire apparaitre direcement S_n plus deux termes ce qui est plus agréable comme expression.

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:23

En fait, il s'agit de montrer que mon expression de départ est égale à 4$\frac{sin[(n+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}

En prenant la réccurence de 15h38, je n'aboutis à rien

Merci

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:28

Skops

Le fait pas avec une récurence !!!

Tu fais direct, utilises une suite géométrique !

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:30

Salut lyonnais

J'essaye de suite

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:30

Tu as :

4$\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x} = e^{-i.n.x}\sum_{k=0}^{2n} (e^{ix})^k

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:32

lyonnais >> expérience ou quelque chose t'a dit qu'il ne fallait pas utiliser une réucrrence ?

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:34

Oui j'ai fait le calcul, cette méthode marche parfaitement et tu as le résultat en 3 lignes :D

N'oubli pas que  1-eiy = eiy/2.(e-iy/2-eiy/2) = -2.i.sin(y/2).eiy/2

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:34

Citation :
expérience ou quelque chose t'a dit qu'il ne fallait pas utiliser une réucrrence ?


Expérience

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:35

Merci

SKops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:38

De rien

Tu as réussi alors ?

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:43

Salut Romain

Skops >> Tu trouves  ?

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 16:54

J'essaye de me débarasser de l'exponentielle qu'il y a devant ^^

Skops

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:02

J'arrive sur 4$e^{ixn}\frac{sin[(n+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})}



Skops

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:02

AH bah non, c'est bon

Merci

Sokps

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:08

Mince, moi il me reste un 4$e^{ix(n-1)}

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:13

Skops ^^

C'est vrai qu'il faut pas oublier le e-inx en facteur !!

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:14

Bah en fait, je comprend pas un autre petit truc ^^

J'ai 4$e^{-nix}+e^{1-nix}+e^{2-nix}+...+e^{nix}

Donc la raison est e^{ix} non ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:18

Quelle andouille c'est bon, j'ai trouvé mon énormité

Je crois que je suis d'accord avec toi

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:20

Pourquoi en mettant en facteur e-inx on tombe sur la même raison géométrique ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:21

Quelle même raison ?

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:22

Skops >> 17h14
Lyonnais >> 16h30

Skops

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:29

Tu m'abandonnes ?

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:31

Il y a une infinité de suite géométrique qui ont 4$e^{ix} pour raison.

Je vois pas où tu veux en venir ..

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:34

Message de 17h02, j'ai un e^ixn devant

Avec ma méthode de 17h14, je tombe sur le résultat de 17h02 ()

Avec la méthode de lyonnais c'est pareil sauf que le e^ixn disparait

Où est le truc ?

Skops

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:36

Honte à moi, je retire tout ce que j'ai dit :D

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:38

Ayé j'ai compris

Tu as voulu calculer cette somme sans manipuler ... de sommes

Non, non je trouve la même chose

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:40

Sans utiliser de somme ? ^^

J'ai juste expliciter la somme qu'il y avait tout au dessus mais j'ai oublié de mettre le premier terme dans la formule de la somme des termes d'une suite géométrique

Skops

Posté par
gui_toure : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:41

Sans manipuler de Sigma ! Roo tu as compris

Ah oui, le premier terme simplifie les choses ^^

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:43

Désolé Skops j'étais sur un autre post ...

Tu as compris au final ?

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:45

J'ai juste marqué que :

ei(k-n)x = eikx-inx = e-inx.eikx = e-inx.(eix)k

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:49

Ca j'ai compris mais avant que tu postes ce message (plus en haut), j'étais déja parti avec ma somme non factorisé et le premier terme de la suite n'était pas 1

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 30-10-07 à 17:49

Ah ok ^^

Posté par
Skopsre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 12:24

Je dois mettre 4$\sum_{k=0}^n \frac{sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})} sous la forme d'un carré de quotient de sinus (me semble t'il )

Finalement, j'aboutis à 4$\frac{2sin(\frac{x}{2})}{3sin(\frac{x}{2})-sin(\frac{3x}{2})}

Mais je ne vois pas de carré

Merci

Skops

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 13:05

Salut Skops

Je trouve :

4$\sum_{k=0}^n \frac{sin[(k+\frac{1}{2})x]}{sin(\frac{x}{2})} = \frac{sin^2(\frac{(n+1)x}{2})}{sin^2(\frac{x}{2})}

:D

Posté par
lyonnaisre : Démonstration par réccurence 31-10-07 à 13:08

Toujours la même méthode :

\Large{sin[(k+\frac{1}{2})x] = Im(e^{i.(k+\frac{1}{2})x})

avec :

\Large{e^{i.(k+\frac{1}{2})x} = e^{i.\frac{x}{2}}e^{ikx}

et tu sommes de k = 0 à n (suite géométrique)

Puis tu prends la partie imaginaire ...

N'hésites pas si tu n'y arrives pas ( j'ai la flem de le tapper :D )

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