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Démonstration théorème de DE Morgan

Posté par
tibeurz 31-12-17 à 11:02

Bonjour,

J'aimerais avoir une piste pour pouvoir démontrer le théorème de DE Morgan.

(A+X)(B+\bar{X})(A+B)=(A+X)(B+\bar{X})
Comment est-ce qu'on procède pour éliminer (A+B) ?

-Tibeurz

Posté par
stroppycowre : Démonstration théorème de DE Morgan 31-12-17 à 12:09

Bonjour,
Pourquoi pas une table de vérité, il n'y a que 8 cas après tout.

Posté par
bbomathsre : Démonstration théorème de DE Morgan 31-12-17 à 15:04

Bonjour.

Pourriez-vous confirmer l'équation ?

Posté par
tibeurzre : Démonstration théorème de DE Morgan 01-01-18 à 20:48

Bonjour, la table de vérité me convaincs mais il n'est pas possible de démontrer cette égalité mathématiquement ? Je en comprends pas "Pourriez-vous confirmer l'équation ?".

Posté par
verdurinre : Démonstration théorème de DE Morgan 01-01-18 à 21:39

Bonsoir.
La table de vérité est une démonstration mathématique.

Mais on peut aussi faire le calcul en utilisant les distributivités
(S+T)*R=S*R+T*R \\ (S*T)+R=(S+R)*(T+R)
et les règles
U+U=U \\ U*U=U \\ U+\bar{U}=1 \\ U*\bar{U}=0 \\ 1+U=1 \\ 0*U=0

Mais je ne crois pas que ça apporte grand chose d'un point de vue théorique.
Cela peut-être vu comme un exercice  de calcul, éventuellement formateur.

Posté par
bbomathsre : Démonstration théorème de DE Morgan 02-01-18 à 09:41

Bonjour.

Sauf erreur de ma part :

\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|c|c|} $A$ & $B$ & $X$ & $A+X$ & $B+ \overline{X}$ & $A+B$ & $(A+X)(B+ \overline{X})(A+B)$ & $(A+X)(B+ \overline{X})$ \\ \hline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline\end{tabular}

Posté par
bbomathsre : Démonstration théorème de DE Morgan 02-01-18 à 11:34

A vérifier quand même..

Soit :

S = (a + x)\ .\ (b + /x)\ .\ (a + b)

Comme u + 0 = u :

S = (a + x)\ .\ (b + /x)\ .\ (a + b + 0)

Comme u . /u = 0 :

S = (a + x)\ .\ (b + /x)\ .\ \left(a + b + (x\ .\ /x) \right)

Comme u + (v . w) = (u + v).(u + z) :

S = (a + x)\ .\ (b + /x)\ .\ (a + b + x)\ .\ (a + b + /x)

Ou, en changeant l'ordre des termes :

S = (a + x)\ .\ (a + x + b)\ .\ (b + /x)\ .\ (a + b + /x)

Comme u + 0 = u :

S = \left[ (a + x + 0)\ .\ (a + x + b) \right]\ .\ \left[ (0 + b + /x)\ .\ (a + b + /x) \right]

Ou en regroupant les termes :

S = \left[ ((a + x) + 0)\ .\ ((a + x) + b) \right]\ .\ \left[ (0 + (b + /x))\ .\ (a + (b + /x)) \right]

Comme (u + v).(u + w) = u + (v . w) :

S = \left[(a + x) + (0\ .\ b) \right]\ .\ \left[ (0\ .\ a) + (b + /x)\right]

Ou :

S = (a + x + 0)\ .\ (x + b + 0)

D'où :

S = (a + x)\ .\ (x + b)

Posté par
carpediemre : Démonstration théorème de DE Morgan 02-01-18 à 12:45

salut

(a + x)(b + x^*)(a + b) = (a + ax)(b + x^*) + (a + x)(b + bx^*) = ab + ax^* + abx + axx^* + ab + abx^* + bx + bxx^* = ab + ax^* + bx = ab + ax^* + bx + xx^* = (a + x^*)(b + x)

car abx* + abx = ab(x + x*) = ab

Posté par
tibeurzre : Démonstration théorème de DE Morgan 02-01-18 à 20:49

Grâce à vous j'ai pu démontrer le théorème. Merci stroppycow, bbomaths, verdurin et carpediem !!

Posté par
carpediemre : Démonstration théorème de DE Morgan 02-01-18 à 20:55

de rien


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