Bonjour
Une question à la fois, si tu veux bien
Dans la première :
Tu es allé un peu vite en besogne, en affirmant que h(F)=G....

Ah d'accord.

Si j'écris alors :

h : F → G.
En considérant h(F) : par définition de l'image directe,
soit y' ∈ G, il existe x' ∈ F tel que y' = h(x').
Donc y' = h(x') ∈ G
Donc h(F) ⊂ G
Ainsi, g(h(F)) ⊂ g(G)
C'est-à-dire g ◦ h(F) ⊂ g(G)
Donc f(F) ⊂ g(G)

Est-ce que c'est mieux ?

Non, pas mieux
Tu fais toujours comme si h était surjective...

Mais est-ce que si je dis que y ∈ g(h(F)) c'est correct ? Pour la suite j'ai du mal à voir comment faire...
Ne doit-on pas donner les définitions des images directes ? :
Il existe y' ∈ h(F) ⊂ G tel que y = g(y') ∈ E.
Et il existe x' ∈ F tel que y' = h(x') ∈ G.
Je suis un peu perdue...

il n'y a pourtant pas grand chose à changer à ton premier essai :

Thais13 @ 04-11-2017 à 11:25

Bonjour à tous !

J'ai fait un exercice concernant les images directes et j'aimerais savoir si mes réponses sont justes.

Voici le sujet :
Soient F , G et E des ensembles. Soient f : F E et g : G E deux applications.
1. Montrer que s'il existe une application h : F G telle que f = g o h, alors f(F) g(G).


Voici mes réponses :

1. Soit f = g o h. Montrons que f(F) g(G).
Soit y f(F). Montrons que y g(G).
Par définition de l'image directe, il existe x F tel que f(x) = y.
y = f(x) = g oh(x) =g(h(x)) = image par g de h(x), qui est élément de G
donc y = g(h(x)) g(G)
Donc f(F) g(G).

Ah oui d'accord c'était ça qu'il me manquait ! En fait je n'avais pas précisé que h(x) ∈ G. Je comprend mieux merci.

Bonsoir,

Supposons l'existence de telle que . Alors, , de sorte que , comme attendu.

D'accord ! Je vois que votre formulation est plus concise. Merci pour votre aide.
Et pour les questions 2 et 3, pensez-vous que ce que j'ai mis est juste ?

Je remets ici le point 2) de mon exercice que j'ai modifié après réflexion.

Énoncé :
2. Réciproquement, montrer que si f(F) ⊂ g(G), alors il existe une application h : F → G telle que f = g ◦ h. 

Soit f(F) ⊂ g(G). Montrons qu'il existe h : F → G telle que f = g ◦ h. 
Par définition de l'image directe : 
Soit y ∈ f(F), il existe x ∈ F tel que y = f(x).
y ∈ g(G) car f(F) ⊂ g(G).
Par définition de l'image directe :
Soit y ∈ g(G), il existe x' ∈ G tel que y = g(x') 
Donc f(x) = g(x').
Comme x' ∈ G et h(x) ∈ G, x' = h(x) convient. 
Donc f(x) = g(h(x)). 
Donc f(x) = g ◦ h(x). 
Donc f = g ◦ h.

Pourriez-vous me dire ce que vous en pensez ? Aurais-je oublié certaines choses ?

L'idée générale est là, tu peux encore améliorer la rédaction

Qu'entendez-vous par améliorer ? Simplifier ou changer certaines formulations ? Et à quels endroits par exemple ?

J'avais essayé d'introduire h(x) pour obtenir la fonction composée...

J'ai tenté autre chose :
h(x) ∈ h(F) = G
Donc g ◦ h(x) = g(h(x)) ∈ g(h(F)) = g(G)
Comme y ∈ g(h(F)) et y ∈ f(F), alors y = f(x) = g ◦ h(x)
Donc f = g ◦ h.

ce qu'il faut que tu améliores dans la rédaction, c'est justement l'aspect construction de h : tu démontres qu'elle existe en en fabriquant une de toutes pièces, en montrant comment choisir h(x) (ce que tu as appelé x') pour chaque x de l'ensemble de départ

Est-ce que je dois considérer la fonction composée g ◦ h telle que f = g ◦ h, et à partir de là donner les ensembles de départ et d'arrivée de h ? C'est-à-dire aboutir à la conclusion : "il existe h : F → G" ?

Soit f(F) ⊂ g(G). Montrons qu'il existe h : F → G telle que f = g ◦ h.  
Par définition de l'image directe :  
Soit y ∈ f(F), il existe x ∈ F tel que y = f(x).
y ∈ g(G) car f(F) ⊂ g(G).
Par définition de l'image directe :
Soit y ∈ g(G), il existe x' ∈ G tel que y = g(x')  
Donc f(x) = g(x').
On pose h : F → G
Comme x' ∈ G et h(x) ∈ G, x' = h(x) convient.  
Donc f(x) = g(h(x)).  
Donc f(x) = g ◦ h(x).  
Donc f = g ◦ h.

J'ai rajouté une ligne pour définir h. Est-ce que maintenant c'est complet ?

pas encore complètement : tu n'expliques pas comment, à partir d'un x quelconque de F, construire h(x) : là tu pars d'un y qui est dans f(F)

On pose h : F → G.
On a x' ∈ G.
Comme x ∈ F, h(x) ∈ h(F) ⊂ G, donc h(x) ∈ G.
Donc x' = h(x) convient.

Cette fois-ci c'est bon ?
Merci pour votre patience.

je ne comprends pas trop, là, tu peux réécrire tout depuis le début ?
ça commencerait par "soit x dans F"

Soit x ∈ F et y ∈ f(F) ⊂ E tels que y = f(x)
y ∈ g(G) car f(F) ⊂ g(G)
Soit x' ∈ G tel que y = g(x')
Alors f(x) = g(x').

On pose h : F → G
Comme x ∈ F,
h(x) ∈ h(F) ⊂ G,
donc h(x) ∈ G
Donc x' = h(x) convient.

Donc f(x) = g(h(x))
Donc f(x) = g ◦ h(x)
Donc f = g ◦ h

pas hyper clair

je préfèrerais quelque chose dans le genre : soit x dans F. f(x) est alors élément de f(F), qui est inclus dans g(G), ainsi f(x) est dans g(G). par conséquent il existe au moins un x' dans G tel que f(x) = g(x'). Choisissons un de ces x' comme image de x par h. On aura alors bien h qui va de F dans G, et qui vérifie, pour tout x de F, f(x) = g(h(x)), donc f = g o h

D'accord je vois ! Merci beaucoup vous m'avez été d'une grande aide.