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Déterminer tout les points invariants par l'application f

Posté par
Quemlou
07-09-19 à 15:59

Bonjours à tous,
Mon énoncé se présente ainsi :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i->,j->)
On désigne par A le point d'affixe za=-i et par B le point d'affixe zb=-2i. Soit f l'application qui, à tout point M d'affixe z, M distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par z'=(iz-2)÷(z+i)

1) Démontrer que si z est un imaginaire pur et si z est différent de -i, alors z' est un imaginaire pur.  (Fait)

2)déterminer tout les points invariants par l'application f, c'est a dire les points tels que M'=M

Je sais que je dois résoudre z=z' mais je bloque et je suis arrivé à :
z=(i+2)÷(i-z)
Des idées ? 🙄

Posté par
alb12
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 16:09
Posté par
Camélia Correcteur
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 16:09

Bonjour

Dans z'=(iz-2)/(z+i) multiplie les deux membres par le conjugué de z+i.

Posté par
carpediem
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 16:20

salut

Citation :
Je sais que je dois résoudre z=z' mais je bloque et je suis arrivé à :
z=(i+2)÷(i-z)
    

et autant dire tu es arrivé nulle part puisque tu n'est pas parti !!!

z' = z <=> z = (iz - 2)/(z + i)

n'as-tu pas appris (dès la seconde) à résoudre quelques (et surement malheureusement trop peu (ce qui n'est pas de ta faute bien sur)) équations du genre

x = (5x - 2)/(x + 4)   ou encore  x = (5x - )/(x + 2)

ici c'est la même chose ...

Posté par
Quemlou
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 16:42

Si je multiplie par le conjugué, cela me donne
z=(iz2-z-2)+z2+1)
Ayant le terme z trois fois je ne pense pas que j'arriverai à l'isoler.
Enfin j'ai essayer :
(iz-2)÷(z+i)=z

<=> iz-2=z2+i

<=> iz=z2+i+z

<=> iz-z2=i+z

<=> z(i-z)=i+2

<=> z=(i+2)÷(i-z)

<=> -z2=(i+2)÷i

<=> z=(-i-2)÷(i)

Sauf que ca me semble vraiment bizarre

Posté par
Quemlou
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 16:47

En multipliant par le conjugué j'obtient  z=(iz2-z-2)÷(z2+1)

(Désoler faute de frappe)

Posté par
carpediem
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 07-09-19 à 17:12

ce n'est pas vraiment une bonne idée le conjugué ...

z = (iz - 2)/(z + i) <=> z^2 + 2 = 0 <=> ...

Posté par
Quemlou
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 08-09-19 à 11:00

Oula je ne voit pas du tout comment tu est passé de la première équivalence à la seconde !!

Posté par
Quemlou
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 08-09-19 à 11:04

Oh je viens de voir mon erreur !! Je n'avais pas bien développer, cela me donne bien z[/sup]2[/sup]+2=0, dois-je maintenant résoudre cette équation dans C ?

Posté par
Pirho
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 08-09-19 à 11:06

oui mais z^2+2=0 peut s'écrire z^2-2i^2=0

Posté par
carpediem
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 08-09-19 à 11:32

Posté par
Quemlou
re : Déterminer tout les points invariants par l'application f 08-09-19 à 12:37

Ok je viens de trouver z1=i2
Z2=-i2
Je viens de finir l'exercice merci beaucoup !



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