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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Développement en série entière
Posté par morgane55
Bonjour, voici l'énoncé :
Donner un développement de la fonction 1 / (z²-4z+3) en série entière sur les régions
| z | < 1 , | z - 2 | < 1 et | z - 5 | < 2. Précisez les rayons de convergence de séries entières obtenues.
Alors on sait que 1 / (z²-4z+3) = 1 / ((z-3)(z-1)), je sais pas quoi faire ensuite, il me semble qu'il faut regarder la plus petite racine ? Merci à vous.
(z nombre complexe)
Bonjour morgane55.
Pose déjà
Sur son domaine, f est holomorphe.
Par conséquent, sur son domaine, f est analytique et possède un développement en série de Taylor en tout point .
Le rayon de convergence de cette série sera alors .
Naturellement, tu vas passer par une décomposition en éléments simples de f et seras donc amenée, pour chacun des points demandés, à trouver deux développements de Taylor que tu sommeras.
1 / ((z-3) (z-1))
= A / (z-3) + B / (z-1)
= (A(z-1) + B(z-3)) / (z-1)(z-3)
= (z(A+B) - A - 3B) / (z-1)(z-3)
Donc 1 = z(A+B) - A - 3B, donc
A + B = 0
-A - 3B = 1
A = - B
B-3B = 1 donc B = -1/2 et A = 1/2 donc
1 / ((z-3) (z-1)) = 1 / 2(z-3) -1 / 2(z-1)
f(z) = 1 / (z² - 4z + 3) = a/(1 - z) + b/(1 - z / 3) , pour z \ {1 , 3} te donne f(z) = 
n (a + b/3n)zn si |z| < 1 .
Dans la région où on a | z - 2 | < 1 c'est g : z 
f( z - 2) qui a un DSE de rayon 1 et dans l'ouvert où |z - 5| < 2 c'est h : z f( z - 3) qui a un DSE de rayon 2 .