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Différence symétrique de trois ensembles

Posté par ntesenforce (invité) 10-09-06 à 19:07

Bonjour tout le monde,

J'ai une démo à faire et comme mon prof de maths en prépa ECS explique très très mal et n'a pas finit la démonstration, j'aimerai s'il vous plaît que vous m'aidiez.

La démo c'est E, F, G trois ensembles, démontrer que (EF)G=E(FG).
J'ai essayé plusieurs façons différentes et je n'y arrive pas.
MErci d'avance
Steven

Posté par
H_aldnoerre : Différence symétrique de trois ensembles 10-09-06 à 21:29

Slt,

en fait tu as un truc très simple, d'abord EF=(EC F)U(FC E) avec C le complémentaire.
ensuite tu utilise la fonction caractéristique si j'ai le tps jte rédige ca

Posté par
H_aldnoerre : Différence symétrique de trois ensembles 10-09-06 à 21:35

Donc E un ensemble A un sous ensemble de E telle que A inclut dans E ;
\mathbb{1}_A=1 si x\in A
et
\mathbb{1}_A=0 si x\notin A

ok ?

Posté par ntesenforce (invité)re : Différence symétrique de trois ensembles 10-09-06 à 22:24

je suis désolé mais j'ai pas compris?
Après je vois pas pourquoi utiliser la fonction caractéristique???
Et la formule tu l'a sortie d'où???
parce que moi j'ai seulement EF=(EF)\(EF)=(E\F)(F\E)...

Merci pour l'aide quand même si tu pouvais expliquer plus précisément stp

Posté par
H_aldnoerre : Différence symétrique de trois ensembles 11-09-06 à 11:47

Bah tu peut aller sur le ouebbe !!

En tout cas c'est comme ça que je l'est vu en première année.
Ensuite essayons de voir \mathbb{1}_{A\cap B}=....
On prend B un autre sous ensemble de E et x un élement de A\cap B.
Donc \mathbb{1}_{A\cap B}=1 par définition de la fonction caractéristique.
Deplus x est à la fois dans A et dans B d'ou \mathbb{1}_{A}=1 et \mathbb{1}_{B}=1 : donc \mathbb{1}_{A}\times\mathbb{1}_{B}=1\times1=1.
Si x n'est pas élement de A\cap B alors \mathbb{1}_{A\cap B}=0 ; x n'est ni élement de A ni élement de B d'ou \mathbb{1}_{A}=0 et \mathbb{1}_{B}=0
Soit \mathbb{1}_{A}\times\mathbb{1}_{B}=0\times0=0

Finalement, quelque soit x dans E \mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_{A}\times\mathbb{1}_{B}.

Posté par
H_aldnoerre : Différence symétrique de trois ensembles 11-09-06 à 11:48

Essaye de faire pareil pour \mathbb{1}_{A\cup B}.

Posté par
H_aldnoerre : Différence symétrique de trois ensembles 11-09-06 à 19:01

Le but :
montrer que \mathbb{1}(EF)G=\mathbb{1}E(FG)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différence symétrique de trois ensembles 16-09-06 à 09:33

Soyons fous...

\begin{array}{cl} \\ & x\in A\triangle(B\triangle C)\\ \\ \Leftrightarrow & \left\{x\in A\,\mathrm{et}\,x\not\in B\triangle C\right\}\,\fbox{\mathrm{ou}}\,\left\{x\not\in A\,\mathrm{et}\,x\in B\triangle C\right\}\\ \\ \Leftrightarrow & \left\{x\in A\,\mathrm{et}\,\neg\left[(x\in B\,\mathrm{et}\, x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in B\,\mathrm{et}\, x\in C) \right]\right\}\,\fbox{\mathrm{ou}}\,\left\{x\not\in A\,\mathrm{et}\,\left[(x\in B\,\mathrm{et}\,x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in B\,\mathrm{et}\,x\in C)\right]\right\}\\ \\ \Leftrightarrow & \left\{x\in A\,\mathrm{et}\,\left[(x\not\in B\,\mathrm{ou}\, x\in C)\,\mathrm{et}\,(x\in B\,\mathrm{ou}\, x\not\in C) \right]\right\}\,\fbox{\mathrm{ou}}\,\left\{(x\not\in A\,\mathrm{et}\, x\in B\,\mathrm{et}\,x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in A\,\mathrm{et}\,x\not\in B\,\mathrm{et}\,x\in C)\right\}\\ \\ \Leftrightarrow & \left\{x\in A\,\mathrm{et}\,\left[(x\not\in B\,\mathrm{et}\,x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\in C\,\mathrm{et}\, x\in B)\right]\right\}\,\fbox{\mathrm{ou}}\,\left\{(x\not\in A\,\mathrm{et}\, x\in B\,\mathrm{et}\,x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in A\,\mathrm{et}\,x\not\in B\,\mathrm{et}\,x\in C)\right\}\\ \\ \Leftrightarrow & \left\{(x\in A\,\mathrm{et}\, x\not\in B\,\mathrm{et}\, x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\in A\,\mathrm{et}\,x\in B\,\mathrm{et}\, x\in C)\right\}\,\fbox{\mathrm{ou}}\,\left\{(x\not\in A\,\mathrm{et}\, x\in B\,\mathrm{et}\,x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in A\,\mathrm{et}\,x\not\in B\,\mathrm{et}\,x\in C)\right\}\\ \\ \Leftrightarrow & (x\in A\,\mathrm{et}\, x\in B\,\mathrm{et}\, x\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\in A\,\mathrm{et}\, x\not\in B\,\mathrm{et}\, x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in A\,\mathrm{et}\, x\in B\,\mathrm{et}\, x\not\in C)\,\mathrm{ou}\,(x\not\in A\,\mathrm{et}\, x\not\in B\,\mathrm{et}\, x\in C) \\ \end{array}

Cette dernière expression est symétrique en A, B et C.

Sauf erreur.

Nicolas

PS - Rappel sur la différence symétrique :
chez Wikipedia

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différence symétrique de trois ensembles 21-08-07 à 07:47

Autre methode :

On utilise A\triangle B=(A\cap\overline B)\cup(\overline A\cap B)

\begin{array}{rcl} \\ A\triangle (B\triangle C) &=& \left[A\cap(\overline{B\triangle C})\right]\cup\left[\overline A\cap(B\triangle C)\right]\\ \\ &=& \left[A\cap\overline{\left((B\cap\overline C)\cup(\overline B\cap C)\right)}\right]\cup\left[\overline A\cap\left((B\cap\overline C)\cup(\overline B\cap C)\right)\right]\\ \\ &=& \left[A\cap\left((\overline B\cup C)\cap(B\cup \overline C)\right)\right]\cup\left[(\overline A\cap B\cap \overline C)\cup(\overline A\cap\overline B\cap C)\right]\\ \\ &=& \left[A\cap\left((\overline B\cap B)\cup(\overline B\cap\overline C)\cup(B\cap C)\cup(C\cap \overline C)\right)\right]\\ \\ && \hspace{0.5cm}\cup\left[(\overline A\cap B\cap \overline C)\cup(\overline A\cap\overline B\cap C)\right]\\ \\ &=& \left[(A\cap\overline B\cap\overline C)\cup(A\cap B\cap C)\right]\cup\left[(\overline A\cap B\cap \overline C)\cup(\overline A\cap\overline B\cap C)\right]\\ \\ &=& (A\cap B\cap C)\cup(A\cap\overline B\cap\overline C)\cup(\overline A\cap B\cap \overline C)\cup(\overline A\cap\overline B\cap C) \\ \end{array}
Cette derniere expression est symetrique en A, B et C.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Différence symétrique de trois ensembles 21-08-07 à 08:02

Troisieme methode

On utilise, comme le proposait H_aldnoer, les fonctions indicatrices et :
\mathbf{1}_{A\triangle B}=\mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}-2\cdot\mathbf{1}_{A}\cdot\mathbf{1}_{B}

\begin{array}{rcl} \\ \mathbf{1}_{A\triangle(B\triangle C)} &=& \mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B\triangle C}-2\,\mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B\triangle C}\\ \\ &=& \mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\,\mathbf{1}_{B}\mathbf{1}_{C}-2\,\mathbf{1}_{A}\left(\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\,\mathbf{1}_{B}\mathbf{1}_{C}\right)\\ \\ &=& \mathbf{1}_{A}+\mathbf{1}_{B}+\mathbf{1}_{C}-2\,\mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B}-2\,\mathbf{1}_{B}\mathbf{1}_{C}-2\,\mathbf{1}_{C}\mathbf{1}_{A}+4\,\mathbf{1}_{A}\mathbf{1}_{B}\mathbf{1}_{C} \\ \end{array}

Cette derniere expression est symetrique en A, B et C.

Posté par
Camélia Correcteurre : Différence symétrique de trois ensembles 21-08-07 à 16:01

Bonjour à tous!

Et une méthode de plus: (ma préférée) Prendre les fonctions caractéristiques comme le suggère H_aldnoer à valeurs dans Z/2Z. on a
1_A+1_B=1_{A\Delta B}

et l'associativiré est évidente!


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