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dm math/complexes

Posté par
Nicolamort 09-11-19 à 15:39

Bonjour je dois faire un dm de math et ca fais 3h que je suis sur la 2, j'en peux plus.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (0;u;v). A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' telle que: z'=(z²-2i)/(z*zbarre+1).

1. Expliquer pourquoi le nombre complexe z' est bien défini pour tous les nombres complexes z.
2. Déterminer le ou les points M tels que M' a pour affixe 1.
3. Démontrer que z' est un réel si et seulement si (zbarre-z)*(zbarre+z)=-4i.
4. En déduire l'ensemble (E) des points M tels que z' est un réel.
5. Déterminer l'ensemble (F) des points M tels que z' est un imaginaire pur.

malou edit > **titre complété**

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:40

Bonjour,
Qu'as tu fait ?

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:42

2. Démontrer que z' est un réel si et seulement si (z-zbarre)(zbarre-z)=4i*

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:43

Pour l'instant j'en suis a x^2-y^2+i(2xy-2)=2y^2+1

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:46

D'où vient cette equation?

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:50

En gros j'ai fait z'=1
(X+iy)^2-2i=(x+iy)(x-iy)+1
X^2+2xiy-y^2-2i=x^2+y^2+1
X^2-y^2+i(2xy-2)=x^2+y^2+1

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:53

D'accord ( tu pouvais te souvenir que le produit d'un complexe par son conjugué donne le carré du module).
Donc?

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:54

Pardon :il y a une faute de signe!

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:54

non c'est juste!!Desolé!

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:55

Comment ça ?

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:55

Que dois je faire du coup ?

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 15:56

2 complexes sont egaux si.....

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 15:59

Z = z' ( j'suis très mauvais en math et ca fait 3h que je suis dessus sincèrement je vais avoir du mal à relfechirb)

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 16:00

Réduis l'equation sous la forme = 0 et pense à ecrire 0+0i

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 16:02

Ca fait -2y^2+i(2xy-2)=0 ?

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 16:04

Relis toi

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 16:05

-2y^2-1+i(2xy-2)=0 ?

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 16:09

oui

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 16:09

Et je fais quoi avec ça ?

Posté par
philgr22re : dm math 09-11-19 à 16:09

Je reviens dans un moment.

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 16:10

D'accord

Posté par
Nicolamortre : dm math 09-11-19 à 17:01

J'arrête la je reviens lundi pour cet exercice

Posté par
malou Webmasterre : dm math 09-11-19 à 20:08

philgr22 @ 09-11-2019 à 15:46

D'où vient cette equation?

de là ! nombres complexes
......
cela veut dire que Nicolamort avait tous les éléments de réponse avec un peu de courage ....et qu'il a fait du multipost....

Posté par
Nicolamortre : dm math 11-11-19 à 14:10

Bonjour je suis de retour pour cet exercice et je m'excuse du multi-post je vais très peu souvent sur des forum alors je ne connais pas très bien la signification de chaque Termes. J'ai toujours pas avancé sur cet exercice et je dois le finir **** :/
*malou>la gestion du temps est ton problème, tout dépendra de ton investissement sur le sujet*

Posté par
Nicolamortre : dm math 11-11-19 à 15:04

C'est bon j'abandonne le 2, je pense jamais pouvoir comprendre, ça fait 4 heures sur une même question.

Posté par
Nicolamortre : dm math 11-11-19 à 15:10

Je cherche juste à essayer de comprendre cet exercice mais vous préférez essayer de me remballer ce qui n'est pas l'optique du forum j'imagine

Posté par
Joko1re : dm math 29-10-20 à 17:04

Du coup moi aussi je suis bloqué sur cette question quelqu'un peut m'aider svp ? 😅

Posté par
meso15re : dm math 30-10-20 à 19:48

Bonjour malou
J'ai un dm de maths expertes avec des questions presques identiques à celles dans le sujet de Nicolamort.
Peux-je poster mes questions pour demander de l'aide dans un nouveau sujet ou ça sera du multipost?
Merci en avance,

Posté par
gbm Webmasterre : dm math 31-10-20 à 11:44

Bonjour,

@Nicolamort : attention au choix du titre du sujet, il faut qu'il soit explicite :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q08 - Comment bien choisir un titre pour la création d'un message ?



@ meso15 : devant l'affluence de la Toussaint, je réponds pour malou. Etant donné qu'il y a plusieurs membres qui ont le même sujet, il est préférable de continuer sur celui-là. Tant qu'à faire, essayez de le faire à trois, l'union fait la force, non ?

Posté par
malou Webmasterre : dm math 31-10-20 à 11:47

Merci gbm
un peu de mal à tout gérer là...
meso15, est-ce que pour ton exercice tu as également z'=(z²-2i)/(z*zbarre+1) ou pas ?
si oui, on reste ici
si non, tu ouvres un autre sujet

Posté par
gbm Webmasterre : dm math 31-10-20 à 12:04

Bonjour malou, l'autre vague traditionnelle à gérer sur l'archipel

Posté par
meso15re : dm math 31-10-20 à 14:08

Merci malou de m'avoir répondu!
Presque, pour mon exercice j'ai z' = \frac{2i - z²}{z * zbarre + 1 } et pour question 3 j'ai ( z - zbarre )( z + zbarre ) = 4i .
La question 2 est la même je pense mais elle est formulée autrement, c'est-à-dire qu'on ne parle pas  "des points M tels que M' a pour affixe 1" mais "des valeurs de z pour lesquelles z' soit égal à 1".

Posté par
malou Webmasterre : dm math 31-10-20 à 14:22

OK, donc z' est l'opposé
pour 2) oui, même résolution, c'est seulement la conclusion qui change
alors quel est ton souci ?

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 15:15

malou
Tout d'abord, j'aimerais vous montrer ce que j'ai fait parce que je ne suis pas sûr d'avoir tout juste.
Voici mes réponses :
1) Pour que le nombre z' soit défini pour tout z \epsilon C , il faut que le dénominateur soit non nul. Autrement dit :
z * zbarre +1 \neq 0 \Leftrightarrow z * zbarre \neq -1
Or, z * zbarre = |z|² et |z|² est toujours positif donc z * zbarre + 1 n'est jamais nul.
On constate que le nombre complexe z' est bien défini pour tout z \epsilon C.

2) z' = 1 \Leftrightarrow \frac{2i - z²}{z * zbarre +1} = 1
\Leftrightarrow 2i - z² = z * zbarre +1 \\ \Leftrightarrow 2i - 1 = z * zbarre + z² \\ \Leftrightarrow 2i - 1 = x² + y² + (x+iy)² \\ \Leftrightarrow 2i - 1 = x² + y² + x² - y² + 2ixy \\ \Leftrightarrow 2i - 1 = 2x² + 2ixy \\ \Leftrightarrow 2i - 1 - 2x² - 2ixy = 0 \\ \Leftrightarrow - 2x² - 1 + 2i - 2ixy = 0 \\ \Leftrightarrow - 2x² - 1 + i (2 - 2xy) = 0 \\ - 2x² - 1 = 0 \\ 2 - 2xy = 0 \\ \Leftrightarrow \\ x² = -\frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{x}
L'équation n'admet pas de solution car il n'existe pas un réel x dont le carré est égal à un nombre négatif.
On constate qu'il n'existe pas des valeurs de z pour lesquelles z' soit égal à 1.

3) ( z - zbarre )( z + zbarre ) = 4i \\ \Leftrightarrow 2iy * 2x = 4i \\ \Leftrightarrow 4iyx = 4i \\ \Leftrightarrow yx = 1 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{y}
z' = \frac{2i - z²}{z * zbarre +1} = \frac{2i - (x+yi)²}{x² + y² + 1} = \frac{2i - (x+\frac{1}{x}i)²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{2i - (x² - \frac{1}{x}² + 2i)}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{2i - 2i - x² + \frac{1}{x}²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{ - x² + \frac{1}{x}²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{\frac{- x^4 + 1}{x²}}{\frac{x^4 + 1 + x²}{x²}} = \frac{-x^4 + 1}{x^4 + x² + 1}

Ensuite, pour les questions 4 et 5, je sais que z' est un réel lorsque sa partie imaginaire est égal à 0 et z' est un imaginaire pur lorsque sa partie réelle est égale à 0 mais je ne vois pas vraiment comment déterminer l'ensemble E et l'ensemble F.





Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 15:18

Pour la deuxième partie de question 3 qui n'a pas apparut correctement :
z' = \frac{2i - z²}{z * zbarre +1} = \frac{2i - (x+yi)²}{x² + y² + 1} = \frac{2i - (x+\frac{1}{x}i)²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{2i - (x² - \frac{1}{x}² + 2i)}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{2i - 2i - x² + \frac{1}{x}²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{ - x² + \frac{1}{x}²}{x² + \frac{1}{x}² + 1} = \frac{\frac{- x^4 + 1}{x²}}{\frac{x^4 + 1 + x²}{x²}} = \frac{-x^4 + 1}{x^4 + x² + 1}

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 15:35

question 1, parfait

question 2 : pour moi avec cet énoncé, pas de solution car système incompatible car une des conditions impossible, ok

quaestion 3 :
tu t'y prends mal
z' réel ssi \bar{ z' }= z'

ssi \dfrac{\overline{ 2i-z²}}{\overline{ z\bar z +1}}=\dots=

les points de suspension, tu dois travailler sur cette expression, et au final tu imposes que tu dois trouver z'
et tu vas tomber sur

z²-\bar z² =4i qui une fois factorisé te donne bien ce qu'annonce ton énoncé

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 16:19

Merci malou  pour les deux premières questions.
Pour question 3, j'ai essayé de  travailler sur l'expression que vous m'avez donné, en faisant
\dfrac{\overline{ 2i-z²}}{\overline{ z*\bar z +1}}=\frac{2i - z²}{z*\bar z +1}
mais je tombe toujours sur x=1/y. Je pense c'est parce que je ne sais pas comment je doit trouver z' après travailler sur l'expression.
Pouvez-vous m'expliquer comment faire svp?

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 16:21

je reviens d'ici une bonne demi-heure si personne n'a pris mon relais

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 16:24

D'accord
Alors en attendant je vais faire mon autre DM de maths.

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 17:04

tu pars de là
\bar{z'}=\overline {\dfrac{2i-z²}{z\bar z +1} } j'ai seulement remplacé z' par sa valeur

=\dfrac{\overline{ 2i-z²}}{\overline{ z\bar z +1}} car le conjugué d'un quotient est le quotient de conjugués

= \dfrac{\overline{ 2i}-\overline{z²}}{\overline{ z\bar z} +\overline {1}} car le conjugué d'une somme est la somme des conjugués

et puis tu avances tout doucement comme ça, en appliquant à chaque étape tes propriétés sur les conjugués
et quand tu as bien fait toutes tes transformations réglementaires, tu dis =z'...eh oui, puisque tu veux dire que la quantité z' est réelle

et de là va sortir très vite la condition écrite dans ton énoncé

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 20:31

malou
Je n'ai toujours pas réussi, je suis vraiment désolé. Je connais bien les propriétés sur les conjugués et j'ai bien compris  que vous avez juste remplacé z' par sa valeur et c'est ce que j'ai fait mais je n'arrive pas à me débarasser de quotient.
J'arrive à \frac{-2i + 2ixy - x² + y²}{x² + y² + 1}
et en factorisant par i \frac{i(-2 + 2xy) - x² + y²}{x² + y² + 1}
mais je n'ai aucune idée comment faire après, ce qui me est le 1 au dénominateur

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 20:37

mais moi je ne remplace pas z par x+iy
je garde z et \bar z jusqu'au bout

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 20:42

malou
J'ai essayé de faire ça aussi et je suis arrivé à \frac{-2i - ( \bar z )²}{ \bar z z + 1}

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 21:12

ben tu y es là !

écris que cela doit être égal à z' (pour que z' soit réel)

\frac{-2i - ( \bar z )²}{ \bar z z + 1}=\frac{2i - z ²}{ \bar z z + 1}

d'où les numérateurs égaux...

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 21:32

Ahh d'accord, je pense avoir compris là
\frac{-2i - ( \bar z )² }{ \bar z z + 1} = \frac{2i - z² }{ z\bar z + 1}                                                     #on multiplie par (z \bar z + 1)
-2i - ( \bar z )² = 2i - z ²                                            #on ajoute 2i et z² aux deux côtés
z² - ( \bar z )² = 4i                                                          #on factorise
( z + \bar z ) ( z - (\bar z ) = 4i
En fait, je n'ai pas pensé à  multiplier pour faire disparaitre les dénomérateur

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 21:33

malou
est-ce que c'est bon là ou il me manque quelque chose ?

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 31-10-20 à 21:56

c'est bon !

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 22:05

D'accord, merci beaucoup!
Du coup, pour les questions 4 et 5, pouvez-vous me donner une petite piste pour les faire ?

Posté par
meso15re : dm math/complexes 31-10-20 à 22:08

malou est-ce qu'il faut partir de ce que j'ai trouvé pour question 3 ?
Je sais que z' est un réel lorsque sa partie imaginaire est égal à 0 et z' est un imaginaire pur lorsque sa partie réelle est égale à 0 mais je n'arrive pas à identifier ses parties réelle et imaginaire.

Posté par
malou Webmasterre : dm math/complexes 01-11-20 à 08:46

pour 4
oui, oui c'est évident qu'il faut repartir du résultat établi en 3.

pour 5
j'utiliserais volontiers la caractérisation \bar {z'}=-z'
tu as déjà fait une première fois les transformations pour la question 3
juste à la fin, au lieu d'écrire =z' cela doit être égal à -z'
donc cela va être très rapide, tu dis, je démontrerais de même et tu écris directement la dernière égalité

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