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Niveau terminale
DM Produit Scalaire
Posté par baleine
Bonjour, j'ai un DM à rendre et j'ai d'énormes difficultés à le faire. J'aurai besoin d'aide.
Voici l'énoncé :
On considère les trois points A(6;-3); B(4;5) et C(-4;-3) dans un repère orthonormé.
On appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
On appelle D le pied de la hauteur issue de A, E le pied de la hauteur issue de B et F le pied de la hauteur issue de C.
1. Démontrer que le centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC a pour coordonnées Ω(1;0)
2.a. Démontrer que l'orthocentre H du triangle ABC a pour coordonnées H(4;-1)
b.Calculer les coordonnées des points D, E et F.
3. Calculer les coordonnées des points L, M et N, milieux respectifs des segments [AH], [BH] et [CH].
4. Démontrer que les neuf points D, E, F, I, J, K, L, M, N sont sur un cercle dont on précisera la position du centre.
J'ai déjà commencé le début de l'exercice mais je bloque sur pas mal de choses...
Bonjour,
vu la longueur de l'exercice, il est souhaitable/indispensable que tu mettes ce que tu as fait (et comment)...
en fait, dès le début je suis parti sur des pistes totalement fausses et je ne sais pas du tout comment m'y prendre, si tu pouvais m'éclaircire ne serait-ce que pour la 1ère question, ça serait gentil
Quelques indications :
1. L'abscisse du centre 
n'est pas difficile à déterminer.
Pour son ordonnée, tu peux utiliser la médiatrice du côté BC.
2.a. L'abscisse de l'orthocentre H n'est pas difficile non plus à déterminer.
Pour son ordonnée, tu peux utiliser la hauteur issue du sommet A.
re!
sachant que le but de l'exercice semble etre les produits scalaires, on va orienter les methodes de resolution sur les produits scalaires....
1) le centre du cercle circonscrit est donne par l'intersection des mediatrices; on va donc calculer les equations de deux des mediatrices et trouver leur intersection. Disons que l'on va s'interesser aux mediatrices de BC et AC par exemple.
B(4;5) et C(-4;-3) donc le milieu I a pour coordonnees (0;1); en outre vect CB (8;8).
Prenons un point M (x;y). M appartient a la mediatrice si le vecteur IM est perpendiculaire au vecteur CB donc si IM.CB = 0 (produit scalaire), ce qui donne 8x+8y-8=0 (soit en divisant par 8: x+y-1=0).
De la meme maniere tu trouves l'equation cartesienne de la mediatrice du segment AC et est l'intersection de ces deux droites (resolution d'un systeme de deux equations a deux inconnues x et y!)
(une autre possibilite etait de calculer les distances A, B et C et verifier quelles ont egales...mais comme je l'ai ecrit on va privilegier l'utilisation des produits scalaires!)