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Ds nombre complexe parti algébrique
Bonjour voici mon sujet:
2π/5 est la mesure en radians de l'angle au centre interceptant un côté du pentagone régulier. Elle correspond à 72°. On se propose ici de calculer algébriquement (sans le concours géométrique comme utilisé sur la page consacrée au décagone régulier) les valeurs exactes de cos(2π/5) et sin(2π/5). On en déduira les valeurs exactes des lignes trigonométriques de 2π/10 = π/5 (36°) correspondant au décagone régulier et la construction de ce dernier.
1°/ Montrer que les angles de mesures 2π/5 et 8π/5 ont même cosinus et des sinus opposés.
2°/ En remarquant que cos4x = cos(2 × 2x), montrer que :
cos4x = 8cos4x - 8cos2x + 1 (e1)
3°/ On pose X = cos(2π/5), montrer que X est solution de l'équation du 4è degré :
8X4 - 8X2 - X + 1 = 0 (e2)
4°/ Au vu de la représentation graphique ci-dessus de la fonction x → 8x4 - 8x2 - x + 1, vérifiez que l'équation 8X4 - 8X2 - X + 1 = 0 admet quatre solutions dont x = 1 et x = -1/2 permettant d'écrire :
8X4 - 8X2 - X + 1 = (X - 1)(2X + 1)(4X2 + aX + b)
où a et b sont à déterminer. (Rép. : a = 2, b = - 1)
4°/ a) Déduire des résultats précédents :
J'ai du mal avec la parti algébrique des nombre complexe, pourriez vous m'éclairer un peu s'il vous plaît ?
Bonjour
pas grand chose à voir avec les complexes, tout au moins le début
vois cette fiche : 
Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
attention à mettre les exposants...sinon, cela va être illisible
pour écrire par exemple x², tu peux écrire x^2
allez, propose quelque chose pour les premières questions, ce n'est que de la trigo
quelqu'un va ensuite te venir en aide (pas nécessairement moi )
Pour la première question peut dire dire que 8π/5 = 2π - 2π/5 donc ils ont même cosinus et des sinus opposés
La 2:
cos4x = cos(2 × 2x)
=2cos^2 (2x) -
=2(2cos^2 x-1)^2 -1
=2(4cos ^4 x-4 cos^2 x +1 )
= 8cos ^4 x -8 cos^2 x + 2-1
= 8cos4x - 8cos2x + 1
C'est ça ?
Pour la 3 je sais pas trop quelle démarche faire, étant donné que le cos(2π/5) = -1 + 
5 /4
Je dois remplacer par X ça dans l'équation ?
17h12 : non, tu ne connais pas cette valeur,tu désires la démontrer
17h05 mets tes exposants, sinon,c'est illisible !
cos(4x)=8cos4x - 8cos2x + 1
ceci est toujours vrai, OK, donc pour la 3)
eh bien remplace x par 2pi/5
.....
Pour la 1) je vois pas trop ce que vous voulez dire
La 2)
cos(4x)= cos(2 × 2x)
=2cos2 (2x)- 1
=2(2cos2 x-1)2-1
=2(4cos 4 x -4 cos2x +1 )-1
= 8cos 4x -8 cos2x + 2-1
= 8cos4x - 8cos2 x+ 1
La 3)
8cos(2π/5) 4- 8cos(2π/5) - 2π/5 + 1 = 0
Je dois le prouver en remplaçant Cos (2π/5) par
(-1 + 5) /4
Pour la 1) je vois pas trop ce que vous voulez dire
ben il me semble qu'il y a longtemps qu'elle est terminée, je n'ai rien dit, c'est OK
La 2)
cos(4x)= cos(2 × 2x)
=2cos2 (2x)- 1
=2(2cos2 x-1)2-1
=2(4cos 4 x -4 cos2x +1 )-1
= 8cos 4x -8 cos2x + 2-1
= 8cos4x - 8cos2 x+ 1
La 3)
8cos(2?/5) 4- 8cos(2?/5) - 2?/5 + 1 = 0 mal recopié, relis mon message de 18h02
Je dois le prouver en remplaçant Cos (2?/5) par
(-1 +
5) /4 j'ai déjà dit non , tu lis mes réponses ? grrr....
pour tout x de R
cos(4x)=8cos4x - 8cos2x + 1 est vrai
j'ai dit de remplacer x par
cela donne
à terminer pour arriver à la forme attendue dans la question ...
Ça donne
cos(8
/5) = 8cos(2/5)4 -8cos(2/5 +1
cos( 2/5) = 8cos(2/5)4 -8cos(2/5 +1
0 = 8cos(2/5)4 -8cos(2/5 - cos (2/5)+1
On peut remplacer cos(8/5)par
(25) car :
cos(8/5) -25) = -2sinsin(3/5 = 0
Je sais pas si c'est ça la justification, ou s'il y a besoin d'en mettre
Ah d'accord merci.
Pour la 4 .1) je penses avoir trouvé :
(X - 1)(2X + 1)(4X2 + aX + b) = 8X4 - 8X2- X + 1
=8x2 (x2-1) -(x-1)
=8x2 (x-1) * (x-1) x-1)
= (x-1) (8x3 + 8x2-1)
= (x-)(8x3 + 4x2 + 4x2+2x-2x-1)
=(x-1) (4x2(2x+1) + 2x (2x+1)- (2x+1)
= (x-1)(2x+1 ) (4x2 +2x-1)
x -1 = 0
x= 1
2x+1 = 0
x=-1/2
4x2 + 2x - 1 donc a = 2 et b=-1
Delta = -22 4*4 * 1
= 20
x1 = (1+5)/4
x2 = (1-5)/4
La dernière question c'est :
Déduire des résultats précédents :
cos 2/5= -15/4
sin 2/5= (10+25)/4
cos5= (5 +)/4
sin(/5)= (10-25)/4
Désolé j'ai oublié de la noter dans le sujet
Cos 2/5 = (-1 5)/4
Cos /5) = 1 5)/4
Faute de frappe désolé
Et pour les deux autre la racine elle part du 10 au 5 mais je sais pas comment on fait sur cette plateforme
bon, je crois qu'il y a des bugs dans les écritures...
tu dois mettre des parenthèses du genre (a+b) par exemple
pour faire les choix des valeurs tu regardes dans quel quadrant du cercle se trouve ta valeur et tu vois si le sinus ou le cosinus doit être positif ou négatif
je te laisse finir
X qui n'est rien d'autre que cos(2pi/5) peut valoir -1 (on élimine),-1/2 (on élimine), ou bien encore ou
donc il n'est pas bien dur de trouver la bonne valeur, oui ?
ah ben voilà, pour une fois que je fais confiance...
tes formules de résolution d'une équation du second degré sont fausses
C'est parce qu'il y a une deuxième parti sur l'utilisation des complexes dans la géométrie mais cette parti j'ai réussi à la faire.
Pour la dernière question il faut faire un calcul pour sinus( 2/5) = (10 +25) /4 ?
Je vois pas trop comment on peut le déduire par rapport à la question précédente
vois l'exo 1 de cette fiche trois exercices classiques de trigonométrie
sin2= 1 - (( 1+
5)/5)2 ce n'est pas la bonne valeur du cosinus que tu écris là...tu as perdu un signe moins devant le 1 et au dénominateur c'est un 4
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