Niveau Maths sup

Egalité a démontrer.

Posté par
Thursaz 28-12-09 à 22:57

Bonsoir

J'ai un problème pour démontrer une égalité en tout début d'exercice... Et ca commence à me prendre la tête donc si vous avez des indications je suis preneur

Démontrer : ( p, ) * , sin[(2p+1)] = ^p_k=0 (-1)^k ((2k+1) parmi (2p+1)) cos^2p+2k() sin^2k+1()

J'ai essayé une récurrence mais ça m'a pas trop aidé...

Merci beaucoup

(Au fait, c'est un exercice sur les polynômes mais j'ai quand même mis le sujet dans la rubrique trigo...)

Posté par re : Egalité a démontrer. 28-12-09 à 23:22

Salut,
petite indication:
faut aller voir du coté des formules de moivre je crois et utiliser le binôme de Newton...

Posté par re : Egalité a démontrer. 28-12-09 à 23:33

Ah oui tiens ça coule tout seul
Merci beaucoup ! Bonne soirée.

Posté par re : Egalité a démontrer. 28-12-09 à 23:38

Bonjour,

L'énoncé semble faux. N'est-ce pas plutôt 2p-2k ?

Nicolas

Posté par re : Egalité a démontrer. 28-12-09 à 23:39

Oui c'est bien 2p-2k, désolé.

Posté par re : Egalité a démontrer. 29-12-09 à 11:07

y'a pas de quoi!

Posté par re : Egalité a démontrer. 29-12-09 à 22:23

Pour répondre à eleonore depuis ce fil...

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( e^{i(2p+1)\theta} \right)$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( (\cos\theta+i\sin\theta)^{2p+1} \right)$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( \Bigsum_{0\le m\le 2p+1} {2p+1\choose m} i^m \sin^m\theta \cos^{2p+1-m}\theta \right)$

Les $i^m$ imaginaires correspondent à $m$ impair. On a alors $i^m=(-1)^{\frac{m-1}{2}}i$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \Bigsum_{0\le m\le 2p+1\\m\mathrm{\ impair}} {2p+1\choose m} (-1)^{\frac{m-1}{2}} \sin^m\theta \cos^{2p+1-m}\theta$

On pose $m=2k+1$

$3$\fbox{\sin^{2p+1}\theta = \Bigsum_{0\le k\le p} {2p+1\choose 2k+1} (-1)^{k} \sin^{2k+1}\theta \cos^{2p-2k}\theta}$