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Égalité d'ensembles.

Posté par
matheux14 29-09-21 à 23:42

Bonsoir,

A, B et C désignent des parties d'un même ensemble E. Montrer que :

1) \bar{\bar{A}}=A

2) \bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}

3) A \cup \bar{A} =E

4) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Alors pour le premier je pose \bar{\bar{A}} = B mais je ne vois pas comment montrer que A \subset B et  B \subset A.
Pourriez vous me proposer des idées s'il vous plaît ?

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 00:28

Bonsoir matheux14.

On travaille dans E.
La première chose à faire serait de donner la définition de \bar A :

x\in \bar A signifie x \notin A donc

x\notin \bar A signifie x \in A. Mais

x\notin \bar A peut aussi se traduire par x \in \bar {\bar A}

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 00:48

D'accord, mais x \in A et x \in \bar{\bar{A}} n'entraîne pas forcément A=\bar{\bar{A}}..
Comment ramener à la question ?

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 12:10

Mais si : on a l'équivalence x \notin X \Leftrightarrow x \in \bar X pour n'importe quelle partie X d'un ensemble E.
Cette équivalence est encore équivalente à x \in X \Leftrightarrow {\blue x \notin \bar X}~(*)
Donc {\blue x \notin \bar X} \Leftrightarrow x \in \bar {\bar X}~(**)
Donc, en utilisant (*) et (**), on a x\in X \Leftrightarrow x \notin \bar X \Leftrightarrow x \in \bar {\bar X} et donc x\in X \Leftrightarrow x \in \bar {\bar X}

Par conséquent, X = \bar {\bar X}

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 18:02

D'accord

Posté par
lafol Moderateurre : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 22:39

Bonsoir
si ça te parle plus, tu peux écrire \bar{\bar{A}} = \{x\in E\vert x\notin \bar{A}\} = \{x\in E\vert x\in A\} = A

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 23:03

Ok, comment faire pour 2) ?

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 23:20

Montrons déjà le sens \bar A \cup \bar B \subset \bar{A\cap B}

Tu commences par écrire : soit x \in \bar A \cup \bar B.
Comment traduire en français cette assertion ?

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 23:22

x appartient soit au complémentaire de A, soit à celui de B.

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 30-09-21 à 23:26

Tout-à-fait, donc, du coup, où x ne peut-il impérativement pas se trouver ?

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 01-10-21 à 00:10

A\cap B

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 14:50

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 16:54

oui, bah maintenant, on y va pour l'inclusion dans l'autre sens.

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 17:02

x \in \bar{A\cap B} \iff x \notin A \cap B \\

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 17:19

\iff x \in \bar{A} \cup \bar{B}

3) A \cup \bar{A} = A \cup E \setminus A =E

4) Est ce que je peux faire en utilisant la propriété du cours qui dit que l'intersection est associative ?

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 21:17

matheux14 @ 02-10-2021 à 17:19

4) Est ce que je peux faire en utilisant la propriété du cours qui dit que l'intersection est associative ?

Si tu veux, mais je ne vois pas comment tu vas l'utiliser ?!

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 21:47

Citation :
Si tu veux, mais je ne vois pas comment tu vas l'utiliser ?!


Juste en énonçant cette propriété non ...

Posté par
jsvdbre : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 23:24

Ah ! Tu veux parler de la distributivité de l'intersection sur l'union ! Mais c'est justement ce que l'on veut montrer.

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 02-10-21 à 23:47

Ah ok, est-ce que je peux partir du fait que l'union d'ensembles est la sommes des éléments de ces ensembles et que leur intersection est comme un produit/division ?

Vous n'aurai pas des pistes à me proposer

Posté par
carpediemre : Égalité d'ensembles. 03-10-21 à 01:26

salut

je ne vois aucune démonstration consistante dans ce fil (à part à 12h10 et à  22h39)

et je ne vois pas l'intérêt de sortir des propriétés (voire même fausses ou que tu ne connais pas) qui te donnent une réponse sans avoir travailler ... et sans maitriser les définitions de base ...

du rappel de jsvdb à 00h28 où on pourrait mettre des équivalence à la place des signifie une autre façon de dire ce qu'a écrit lafol de façon concise :

x \in \bar {\bar A} \Longrightarrow x \notin \bar A \iff x \in A

donc \bar {\bar A} \subset A

réciproquement  x \in A \Longrightarrow x \notin \bar A \iff x \in \bar {\bar A}

donc A \subset \bar {\bar A}

évidemment on pourrait ne mettre que des implications ...
les équivalences traduisent en fait une définition


x \in \bar {A \cap B} \Longrightarrow x \notin A \cap B \iff (x \notin A $ et $ x \notin B) \Longrightarrow x \in A $ ou $ x \in B \iff x \in A \cup B

à nouveau les deux équivalences traduisent simplement les symboles et en les mots et et ou

à toi de faire la réciproque ...

bien que dans tous les cas on puisse aussi travailler par équivalence ....

Posté par
lafol Moderateurre : Égalité d'ensembles. 03-10-21 à 17:38

bonjour

jsvdb @ 30-09-2021 à 23:20

Montrons déjà le sens \bar A \cup \bar B \subset \bar{A\cap B}

Tu commences par écrire : soit x \in \bar A \cup \bar B.
Comment traduire en français cette assertion ?
matheux14 @ 30-09-2021 à 23:22

x appartient soit au complémentaire de A, soit à celui de B.


pas d'accord. x peut appartenir aussi aux deux ... ce n'est pas un "ou exclusif", qui correspond à la réunion

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 03-10-21 à 22:23

D'accord mais comment faire pour le 4) ?

Posté par
lafol Moderateurre : Égalité d'ensembles. 03-10-21 à 23:19

fais déjà le 2 et le 3 ...

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 04-10-21 à 00:29

2)* x \in \bar{A \cap B} \iff x \notin A \cap B

\iff x \notin A ~\text{ou}~x \notin B

\iff x \in \bar{A}~\text{ou}~x \in \bar{B}

\iff x \in \bar{A} \cup \bar{B}

Je peux donc écrire que \bar{A \cap B} \subset \bar{A} \cup \bar{B} (1)

* x \in \bar{A} \cup \bar{B} \iff x \in \bar{A}~\text{ou}~ x \in \bar{B}

\iff x \notin A~\text{ou}~ x \notin B

\iff  x \notin A \cap B \iff x \in \bar{A \cap B}

Je peux donc écrire que \bar{A} \cup \bar{B}  \subset \bar{A \cap B} (2)

D'après  1et 2 j'ai bien \bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A \cap B}

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 04-10-21 à 00:31

3) A \cup \bar{A} = A \cup E \setminus A =E

Posté par
matheux14re : Égalité d'ensembles. 04-10-21 à 16:01

4)

Posté par
carpediemre : Égalité d'ensembles. 04-10-21 à 16:54

matheux14 @ 04-10-2021 à 00:31

3) A \cup \bar{A} = A \cup E \setminus A =E
je ne vois aucune démonstration dans cette égalité ...

Posté par
lafol Moderateurre : Égalité d'ensembles. 04-10-21 à 18:52

et moi je ne vois pas la nécessité des deux sens quand on utilise des équivalences, d'une part, et je ne vois pas d'où sort l'équivalence entre " x n'appartient pas à A inter B" et "x n'appartient pas à A ou x n'appartient pas à B", d'autre part, il me semble qu'il manque une étape


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