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Niveau Maths sup
Elements de logique
Posté par Kernelpanic
Bonjour ou rebonjour,
j'ai posté il y a quelques jours un post sur un exercice de logique dans lequel on m'a très bien aidé, et c'est pourquoi je reviens ici pour avoir confirmation de mes réponses sur un second exercice.
Voilà l'énoncé :
Soit f une fonction de 
dans . Ecrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes :
a) f n'est pas identiquement nulle
b) f ne s'annule pas
c) f s'annule quelque part
d) f est décroissante
e) f n'est pas croissante
f) f n'est pas bornée
g) f est périodique
Voici ce que j'ai répondu (à savoir qu'ici il faut juste utiliser des quantificateurs et non de connecteurs logiques) :
a) 
x
, f(x) 
f(x)=0 (je dois avouer qu'ici je pense que c'est faux)
b) x, f(x)>0 ou f(x)<0
c) 
!x, f(x)=0
d) x, y, x
y, f(x)<f(y)
e) x, y, xy, f(x)<f(y) ou f(x)>f(y)
f) x, a, f(x)>a
g) T, x, f(x+T)=f(x) (je pense me tromper dans l'ordre d'énonciation des variables)*
Je sais que ça représente du travail pour vous mais j'aimerais vraiment savoir ce qui va ou ne va pas, je vous remercie d'avance !
Bonsoir,
pour le a)
f(x)f(x)=0 n'a pas de sens mathématique, même si je crois deviner ce que tu veux dire.
La fonction f est identiquement nulle ssi xR f(x)=0.
Pour dire que f n'est pas identiquement nulle, il suffit de nier cette affirmation.
Merci, justement c'est ce que je voulais faire au départ en disant tout simplement : non(f(x)=0) seulement l'énoncé n'est pas clair et je ne sais pas si je peux utiliser des connecteurs logiques... enfin en tout cas c'est bien ce que je pensais.
Pour le reste, est-ce correct ?
Bonsoir,
Quand on demande d'écrire avec des quantificateurs on a le droit aux connecteurs logique en général. Dans ce genre d'exercice une bonne méthode est de réecrire en français la proposition jusqu'à obtenir quelque chose de transcriptible littéralement avec des symboles.
Exemple :
f est croissante
pour tout x et y réels, si x <= y alors f(x) <= f(y)
pour tout x réel, pour tout y réel, x <= y implique f(x) <= f(y)
xy x y 
f(x) f(y)
La négation de x P(x) est x non(P(x)).
Il n'y a besoin d'aucun connecteur logique . . .
Pour le b) on peut faire plus simple : y>0 ou y<0 peut s'écrire y0 ;
pour le c) il n'y a pas besoin de ! après le ;
pour le d) il manque un signe ;
pour le e) relis le début de mon message ;
pour le f) ta réponse est totalement fausse, par exemple en prenant a=f(x) on obtient que, si f n'est pas bornée alors f(x)>f(x) ;
le g) est la seule réponse vraiment correcte.