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Ensemble et application

Posté par Profil Ramanujan 10-07-19 à 03:20

Bonsoir,

Cet exercice est classé difficile.

Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit :

f_A : \mathcal{P}(E) \longrightarrow \mathcal{P}(E) \\ X \mapsto X \cap A et

  g_A : \mathcal{P}(E) \longrightarrow \mathcal{P}(E) \\ X \mapsto X \cup A

1/ Décrire f_A(\mathcal{P}(E)) et g_A(\mathcal{P}(E)) lorsque E=\{1,2,3,4,5\} et A=\{1,2\}.
J'ai réussi sans problème.

2/ Dans le cas général établir que : f_A(\mathcal{P}(E))=\mathcal{P}(A)
J'ai réussi par double implication.

3/ Montrer que : g_A(\mathcal{P}(E))=\{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \}=\{Y \in \mathcal{P}(E) | A \subset Y \subset E \}
J'ai réussi en montrant que : \{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \} \subset g_A(\mathcal{P}(E))  puis g_A(\mathcal{P}(E)) \subset \{Y \in \mathcal{P}(E) | A \subset Y \subset E \} et enfin (le plus difficile) que : \{Y \in \mathcal{P}(E) | A \subset Y \subset E \} \subset \{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \}

4/ Lorsque E est fini, déterminer le nombre d'éléments de g_A(\mathcal{P}(E)).
Je n'y arrive pas. Je n'arrive pas à faire le lien avec les questions précédentes.

5/ Pour Y \in \mathcal{P}(E) , déterminer f_A^{-1}(\{Y\} et g_A^{-1}(\{Y\}.

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 07:32

Vraiment ?
Si E a n éléments, et A a p éléments, quel le nombre d'éléments de E\A ? Quel est le nombre de parties de cet ensemble ?

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 07:33

Lire : quel est le nombre d'éléments de E\setminus A ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 11:09

On a : card \ A + card \ \mathcal{C} A = card \ E
Donc si E a n éléments et A possède p éléments alors :

card \  \mathcal{C} A = n-p

Mais j'ai du mal à comprendre comment on va s'en servir pour trouver le nombre d'éléments de g_A(\mathcal{P}(E))=\{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \} ...

Il faut pas trouver une bijection pour trouver le nombre d'éléments de g_A(\mathcal{P}(E)) ? A quoi sert la question 3 ?

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 12:15

Tu n'as pas répondu à la question : quel est le cardinal de \mathcal{P}(E\setminus A) ?
Si g_A(\mathcal{P}(E))=\{A \cup X , X \in \mathcal{P}(E\setminus A) (question 3.) je ne vois aucune difficulté à trouver le nombre d'éléments.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 12:34

Le cardinal de \mathcal{P}(E\setminus A)  est 2^{card (\  \mathcal{C}_E A ).

Je ne connais pas la technique pour compter le nombre d'éléments d'un ensemble défini ainsi

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 12:53

Ton égalité ensembliste ne serait-elle pas une autre façon d'écrire la bijection que tu souhaites ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 13:11

Je dirais qu'il faut montrer que l'application : g_A : \mathcal{P}(\mathcal{C}_E \ A) \longrightarrow \mathcal{P}(E) \\ X \mapsto X \cup A   est bijective.

Mais avant d'essayer de le montrer, je m'emmêle les pinceaux avec les propriétés du cours.

Si E est un ensemble fini de cardinal n et F un ensemble qui peut être mis en bijection avec E, alors F est aussi de cardinal n.

Mais ici \mathcal{P}(\mathcal{C}_E \ A) est mis en bijection avec \mathcal{P}(E) pourtant ils n'ont pas le même cardinal

Ou sinon la propriété suivante :

Soit E un ensemble fini non vide, F un ensemble quelconque et u \in F^{E}.
card \ u(E)=card \ E si et seulement si u est injective.

Ici ça semble correspondre il suffit de montrer que g_A est injective non ? Par contre on ne sait pas si E est non vide.

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 14:50

Citation :
je m'emmêle les pinceaux
: il serait temps de les démêler !
Ce n'est sûrement pas une bijection puisque A\subset g_A(X) : toutes les parties de E ne vérifient pas cette propriété !

C'est quoi cette "exclusion du vide " ? Invention de ta part ? Oubli de quelque contexte ?
Si E=\emptyset alors u(E)=\emptyset, point barre !

...............................
La bijection à établir est : Y\in g_A(\mathcal{P}(E))\iff\exists X\in(E\setminus A),\;Y=X\cup A

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 16:27

Je corrige il faut montrer que l'application : g_A : \mathcal{P}(\mathcal{C}_E \ A) \longrightarrow g_A(\mathcal{P}(E)) \\ X \mapsto X \cup A   est bijective.

Il est évident qu'elle est surjective par définition de l'ensemble g_A(\mathcal{P}(E)) par contre je n'arrive pas à montrer qu'elle est injective.

Je bloque à X_1 \cup A = X_2 \cup A

Posté par
luzakre : Ensemble et application 10-07-19 à 18:12

Que vaut (X\cup A)\cap(E\setminus A) lorsque X\subset(E\setminus A) ?

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 21:38

Lorsque X\subset \mathcal{C}_E A, on a :

On a : (X\cup A)\cap \mathcal{C}_E A = (X \cap \mathcal{C}_E A) \bigcup (A \cap \mathcal{C}_E A)

Donc : (X\cup A)\cap \mathcal{C}_E A = X \bigcup \emptyset = X

Donc soient X_1 ,X_2 \in \mathcal{P} (  \mathcal{C}_E A ) tels que :

A \cup X_1 = A \cup X_2

Ainsi : (A \cup X_1) \cap  \mathcal{C}_E A  = ( A \cup X_2) \cap  \mathcal{C}_E A

D'après le raisonnement précédent, on en déduit : X_1=X_2 d'où l'injectivité.

Je réfléchis à la dernière question, si je n'ai pas fait d'erreur...

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 10-07-19 à 23:20

Pour la dernière question :

Soit Y \in  \mathcal{P}(E) fixé.

f_A ^{-1} (\{Y \})= \{X \in \mathcal{P}(E) | X \cap A=Y \}

Il faut résoudre l'équation : X \cap A=Y

Mais je ne vois pas comment faire

Posté par
luzakre : Ensemble et application 11-07-19 à 08:23

Deux cas :
Y\subset A
Y\not\subset A

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 11-07-19 à 15:36

Si Y\not\subset A, en faisant un dessin avec des patates, on voit qu'il n'y a pas de solutions. Mais je n'arrive pas à le démontrer

Posté par
lionel52re : Ensemble et application 11-07-19 à 15:43

Très difficile encore une fois. Soit X solution de X inter A = Y
Si Y n'est pas inclus dans A alors soit y € Y\A alors...

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 11-07-19 à 16:34

Ah oui c'est évident, y est un élément du complémentaire de A, il ne peut pas appartenir à X \cap A \subset A

Je trouve que : f_A ^{-1}(\{Y \})= \{Y \cup X_1 , X_1 \subset \mathcal{C}_E A \}

Ensemble et application

Posté par
luzakre : Ensemble et application 11-07-19 à 17:07

Tu n'a pas donné toutes les réponses !
Il manque f_A^{-1}(Y)= ?? lorsque Y\not\subset A.

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 11-07-19 à 17:35

Lorsque Y\not\subset A : f_A^{-1}(Y)=\emptyset

Par ailleurs :

g_A ^{-1} (\{Y \})= \{X \in \mathcal{P}(E) | X \cup A=Y \}

Si A n'est pas inclus dans Y : g_A ^{-1} (\{Y \})= \emptyset

Si A  \subset Y je ne vois pas trop même avec un dessin

Posté par
luzakre : Ensemble et application 11-07-19 à 18:01

Que pense-tu de X=Y\setminus A ? Et tu peux exprimer cet ensemble en utilisant le complémentaire de A...

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 12-07-19 à 13:19

X=Y\setminus A = \mathcal{C}_E (A)- \mathcal{C}_E (Y)

Il est clair que :  (Y\setminus A)  \cup A = Y

Mais on pourrait pas trouver d'autres X qui marchent ?

Posté par
luzakre : Ensemble et application 12-07-19 à 14:57

Tu ne donnes pas g_A^{-1}(\{Y\}) qui est un ensemble de parties de E pas une partie de E !

Déjà, pour A\not\subset Y la réponse  g_A^{-1}(\{Y\})=\emptyset ne convient pas.

.........................
Quand à ta question tu peux chercher tout seul en considérant par exemple :
. le cas X\subset(Y\setminus A),\;X\neq(Y\setminus A)
. le cas X\not\subset(Y\setminus A)

Posté par
luzakre : Ensemble et application 12-07-19 à 15:00

Ou bien montrer que g_A est injective...

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 12-07-19 à 15:50

Oui j'ai fait une erreur :  Pour A\not\subset Y on a :  g_A^{-1}(\{Y\})=\{ \emptyset \}

Je propose : X= ((Y\setminus A) \cup X_2 avec X_2 \subset A

Posté par
luzakre : Ensemble et application 12-07-19 à 23:43

Mes excuses : je t'ai incité à écrire une erreur :
La solution pour A\not\subset Y est bien un ensemble vide, ta réponse initiale est correcte.

..............................................
Dans le cas  A\subset Y,  que valent tes X lorsque X_2\in\mathcal{P}(A)?

Comme mentionné, g_A est injective :
Soit h : Z\mapsto Z\setminus A. Alors g_A(h(Z))=?? et h(g_A(Z))=??

Posté par Profil Ramanujanre : Ensemble et application 13-07-19 à 00:14

Je trouve :

g_A ^{-1} (\{Y \})= \{(Y \backslash A) \bigcup X_2 \ | \  X_2 \subset A \} il y a donc plusieurs solutions.

On a : g_A(h(Z))=h(g_A(Z))=Z donc h est la bijection réciproque de g_A.

Mais je n'ai pas trop compris pourquoi vous introduisez l'application h

Si elle est injective, c'est bizarre car je trouve plusieurs antécédents à X \cup A =Y .

Posté par
luzakre : Ensemble et application 13-07-19 à 00:33

Tu as raison !
Oublions mes stupidités : g_A n'est pas injective puisque g_A(\emptyset)=g_A(A)=A.

Ta solution g_A ^{-1} (\{Y \})= \{(Y \setminus A) \cup X ,\;  X \subset A \} n'est valable que si A\subset Y !
On peut aussi l'écrire g_A ^{-1} (\{Y \})= \{Y \backslash A \}\bigcup(\mathcal{P}(A))


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