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ensembles et applications

Posté par fiel (invité) 04-12-06 à 10:40

Bonjours, s'il vous plait aidez moi à résoudre le probleme suivant:je dois trouver la solution du système
     A\X= B  et  X\A= C
avec:BA et AC=
et merci d'avance,

édit Océane : niveau modifié

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 11:10

Bonjour,

As-tu fait un schéma avec des "patatoïdes" ?
Sur le mien, il est "clair" que X=(A\setminus B)\cup C
Reste à démontrer si cela est vrai ou non...

Nicolas

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 11:34

merciNicolas_75 pour votre intérêt,
non j'ai pas pu faire les "patatoïdes".
j'ai essayé de résoudre directement mais je me suis un peu perdu

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 11:45

mais ce que j'essaye de faire c'es ca :
nous avons BC= puisque
A\X X\A=
et donc BC=E
<==> B(barre)C avec BA
Alors B(barre) X
et avec le même raisonnement on trouve que XC

et donc B(barre)XC
est ce que on peut dire ca?

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 12:09

est ce que ce raisonnement est correcte?
et merci d'avance,

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 12:30

Ton raisonnement ne me semble pas correct.
B union C = E : il n'y a aucune raison. Où sont passés les éléments de A/B ?

Je te propose une autre méthode :
a) dessine les patatoïdes
b) fais une conjecture
c) démontre-la

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 12:35

C'est moche.
X semble correspondre à la partie bleue, non ?
Reste à le vérifier (ou non) par une démonstration propre.

ensembles et applications

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 13:19

ok et si on met A\X X\A= donc X(barre)B puisque
BA
c'à d B(barre)X
ca donnera quelque chose?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 14:24

Je ne comprends pas le "donc " de "donc Xbarre inclus dans B"
Peux-tu préciser quelle propriété tu utilises ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 15:49

Cela est loin de répondre complètement à l'exercice, mais c'est un début...

Montrons que X_0=(A\setminus B)\cap C est solution du système d'équations.

\begin{array}{rcl} \\ A\setminus X_0 & = & A\setminus\left((A\setminus B)\cup C\right)\\ \\ & = & \left(A\setminus(A\setminus B)\right)\Bigcap\left(A\setminus C\right)\\ \\ & = & B\cap A\\ \\ & = & B \\ \end{array}

\begin{array}{rcl} \\ X_0\setminus A & = & \left((A\setminus B)\cup C\right)\setminus A\\ \\ & = & \left((A\setminus B)\setminus A\right)\Bigcup\left(C\setminus A\right)\\ \\ & = & \emptyset\cup C\\ \\ & = & C \\ \end{array}

Posté par
spmtbre : ensembles et applications 04-12-06 à 15:53

bonjour a vous
pour info pour fiel
les patatoides de Nicolas s appellent aussi (et surtout ?? ) DIAGRAMME DE VENN

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 15:59

Bonjour spmtb

Posté par curioso (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 16:31

merci à vous tous,
mais pour Nicola pour la reponse de 15:49
A\Xo=A\(A\B)C
d'après votre énoncé que X0=(A\B)C
n'est ce pas?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 16:39

Faute de frappe, pardon : X_0=(A\setminus%20B)\cup%20C

Posté par curioso (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 16:41

Donc pour la reponse de 15:49 c'est la réponse complete?
:

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 04-12-06 à 16:49

Cela montre, sauf erreur que mon X0 est une solution du système d'équations.
Mais cela ne suffit pas pour montrer que c'est la seule (d'ailleurs, est-ce le cas ?).

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 16:57

ok, et donc on doit procédé comment?

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 04-12-06 à 17:49

ok, je sais pas si ca ajoute quelque chose mais si je reprend le raisonnement de 11:45 je trouve que:
A\X=B
<==> AX(barre)=B
Or on sais que AX(barre)A et AX(barre)X(barre)
donc X(barre)B c'est à dire B(barre)X
et de la même façon X\A=C <=> XA(barre)X
c'est à d que XC
on trouve alors que B(barre)XC,
c'est ca non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 05-12-06 à 01:14

Comment oses-tu écrire un résultat comme cela ?
Un simple coup d'oeil à la figure permet de voir que B(barre) n'est pas inclus dans C !
Tu pourrais au moins faire ce genre de vérification visuelle.

Pour revenir à ton raisonnement, il y a des erreurs.
Tu dis, si j'ai bien compris :
A\cap\bar{X}=B, or A\cap\bar{X}\subset\bar{X} donc \bar{X}\subset B
C'est pile l'inverse !
\fbox{A\cap\bar{X}}=\fbox{B}, or \fbox{A\cap\bar{X}}\subset\bar{X} donc \fbox{B}\subset\bar{X}

Du moins si j'ai bien compris ton raisonnement.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 05-12-06 à 07:13


Lemme : quel que soit A et X : A\setminus(A\setminus X)=A\cap X.
Facile à montrer avec les propriétés du cours.

Proposition de correction.

Soit X une solution du système d'équation

Conséquences de la première équation :
A\setminus X = B
donc A\setminus(A\setminus X) = A\setminus B
donc A\cap X = A\setminus B

Conséquences de la deuxième équation :
X\setminus A = C
donc X\cap\bar{A}=C

Enfin :
X = X\cap(A\cup\bar{A})
X = (X\cap A)\cup(X\cap\bar{A})
X = (A\setminus B)\cup C

Réciproquement, on a vu dans un message différent que cette solution convient.

Conclusion : le système d'équations admet une solution unique : \fbox{(A\setminus B)\cup C}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par fiel (invité)re : ensembles et applications 05-12-06 à 13:56

merci beaucoup Nicolas vous m'avez grandement aider, et j'avoue que je trouve des difficultés dans ce cours des ensembles
merci une autre fois

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : ensembles et applications 05-12-06 à 14:10

Je t'en prie.


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