Bonjour Aerobi,

Déjà la question 1 est fausse : p est un nombre complexe, du coup ton module est faux.

Posons un petit dessin pour développer l'intuition :
Les complexes se représentent dans un plan, tu le sais. Et G dans ce plan, à quoi ressemble-t-il ?
Maintenant |z-p| représente la distance dans le plan complexe entre z et p, ou p doit être sur G, et z n'importe où. Tu vois ce que ça représente tout ça ?

2)a c'est juste
2)b voyons la 1. déjà Tant que tu n'as pas le dessin des choses en tête, il va t'être difficile de voir quelque chose.

Merci pour cette réponse ça fait une semaine que je suis sur cet exercice qui est à rendre pour demain je galère là...
Par contre je tiens à préciser que j'ai oublié un "-" dans mon énoncé. On a A={pG, |z-p|<1}
D'autre part pour p au début je pensais aussi que p était un complexe mais après l'énoncé précise que p est le nombre d'éléments p de G qui vérifient l'inégalité |z-p|<1. Donc avec ça moi j'ai ensuite compris que p était donc un nombre naturel... J'ai vraiment du mal à comprendre encore cet énoncé...
G pour moi représente une bonne partie du plan vu que G est l'ensemble des nombres complexes m+in avec m et n des entiers relatifs.
ça fait une semaine que je suis sur cet exercice qui est à rendre pour demain
Pour moi |z-p|<1 représente un disque ouvert de centre p et de rayon 1.

Bonsoir Aerobi,

Désolé pour le temps de réponse.
J'avais compris pour z-p ne t'en fais pas.

Pour G n'as tu pas une vision plus précise ? Honnêtement dès que tu visualiseras la forme de G dans le plan complexe tout l'exo devrait tomber

Bon si c'est pour demain je vais t'en donner davantage (en temps normal j'aurais préféré te guider) :

Ne peux tu pas voir G comme un quadrillage dans le plan ? L'ensemble G représente chaque sommet de ce quadrillage. Les carrés formé par ce quadrillage sont de côté 1.
De là la question 1 est simple : si z est dans G, il est sur un sommet du quadrillage, donc les autres sommet du quadrillages sont au minimum à une distance 1 de lui, donc trop loin. Sauf lui même ! Donc l'ensemble des points de G qui sont à une distance strictement inférieur à 1 de z c'est {z}, le cardinal de cet ensemble est bien 1.

Oui merci c'est ce que j'ai trouvé aussi avec p=m+in et z=x+iy avec (m,n)² et (x,y) des entiers. On a |z-p|<1 disque ouvert de centre p et de rayon 1 donc (x-m)²+(y-n)²<1. Or m et n étant des entiers relatifs et y et x des entiers la seule possibilité pour que la condition |z-p|<1 soit rempli est que x=m et y=n c'est à dire p=z...

Pour la 2b je trouve cela logique graphiquement je retrouve: si on additionne z avec un entier relatif on ne change pas le nombre de possibilité h(z) par contre si ce nombre n'est pas un entier relatif là le nombre de possibilité change mais je n'arrive pas à l'exprimer en langage disons mathématiques...

La question 2)c) est "En déduire que pour tout z de C il existe un nombre complexe z' de T vérifiant k(z)=k(z')."
Là non plus je comprend géométriquement mais n'arrive pas à l'exprimer...

3)z' est un élément de T
a- vérifier que |z'|2/2.
Simple
b-Démontrer que si p élément de G vérifie |z'-p|<1 alors p est l'un des nombres 0, 1, i, 1+i
ici aussi pas de problème graphiquement mais sur feuille je n'arrive pas à le rédiger clairement sans passer par l'étude graphique
c-Montrer que si z'0 alors |z'-1|<1

4)En rassemblant les résultats précédents conclure que pour tout z de C 1k(z)4 avec k(z)=1 ssi Re(z) et Im(z) sont des entiers.
Graphiquement je le retrouve aussi...

5)Calculer , , .
Graphiquement je trouve qu'ils sont tous égaux à 4 mais je ne sais pas si je peux répondre à cette question graphiquement d'après le "calculer..."

Merci encore...

Bonjour Aerobi,

2.b
Géométriquement, on te demande de montrer que si un entier z se trouve à une distance inférieur à 1 de k(z) élément de G, en ajoutant 1 à z cela ne change pas ce nombre (lorsque z est dans un carré du quadrillage, lorsque tu rajoute 1 il se retrouve exactement au même endroit par rapport au carré suivant)
iz correspond à faire une symétrie par rapport à la première bissectrice, z(barre) est une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

2.c : en utilisant cela, montres que n'importe quel complexe du plan s'écrit comme l'image par une composé de symétrie abscisse/bissectrice ou translation de vecteur réel d'un complexe de T.

Soit z un complexe :

- Si Im(z)<0 alors Im(z(barre))>0  on peut donc montrer notre résultat sur les complexes dont la partie imaginaire est positive.
- Par sommation de complexes de G on peut ramener n'importe quel complexe jusqu'au carré "posé" sur les axes.
- Une fois dans ce carré, la symétrie par rapport à la bissectrice nous ramène dans T

tu le vois ?

3.b Posons z=x+iy, p=m+in et montrons que m=0 ou 1 et n=0 ou 1
x<=1/2 , 0<=y<=x
(x-m)²+(y-n)²<1 => |x-m|<1  et |y-n|<1    sachant que m et n sont entiers on peut conclure.

Pour moi c'est bonsoir J'habites en Nouvelle Calédonie! En tout cas merci beaucoup pour votre aide... Ce devoir m'aura vraiment bloqué...

Revenons à l'exercice:

2)b depuis vos explications d'hier je vois mieux le problème. Je vois tout à fait ce qu'il se passe mais je ne sais pas comment l'exprimer. Je ne crois pas qu'en formulant une réponse du type "graphiquement on se rend compte que..."
En tout cas merci beaucoup, je persiste!

Bonsoir Aerobi donc,

C'est pour ça qu'on est décalé depuis hier, tout s'explique

Tu as raison de persister, mathématiquement "on voit que" <=>
Sauf que tout de même, si tu vois l'image dans ta tête, tu sais vers où diriger ta démonstration, ça peut aider à se forger une intuition. Mais maintenant faut y aller :

pour montrer que k(z)=k(z+1) (et ce sera pareil pour les autres) on peut dire :

k(z)=k(z+1) <=> card(A(z))=card(A(z+1)) <=> il existe une bijection entre A(z) et A(z+1) (là c'est un peu exagéré comme vocabulaire parce que 0<k(z)4, mais bon ça formalise les choses)
Mettons en évidence cette bijection :
f : A(z) -> A(z+1)
     p   -> p+1
Ca à l'air de marcher ça non ?

Si |z-p|<1  alors  |(z+1)-(p+1)|=|z-p|<1  et réciproquement.

Donc le dessin ne justifie pas, mais il t'aide à mettre les choses en évidence. Sur le dessin tu vois bien que rajouter 1 à z, cela rajoute également 1 aux p qui l'entourent.

Avec z(barre) on peut imaginer que si |z-p|<1 alors  |z(barre)-p(barre)|<1

Merci beaucoup! C'est bon j'ai retrouvé pour ces questions!

Pour la question 4 est ce suffisant de dire: d'après la question 3)b on a 4 solutions au maximum pour p et une au minimum pour x et y des entiers. D'ou l'inégalité?

Pour la question 5 est ce que en faisant des graphique cela répond à la question? Parce que je ne vois pas le calcul à appliquer...

Par contre pour la 2)c je ne vois toujours pas

Alors,

Pour la 3.c  il faut dire d'après la 2.c  pour tout z il existe z' tel que k(z)=k(z'). Donc il suffit de vérifier que l'inégalité est vérifiée pour tout z' de T.
Or pour z' appartenant à T, la 3.b te dit que A(z) peut contenir 0,1,i,1+i, soit 4 éléments au maximum.
Quant au minimum on a montré que z appartient à G => k(z)=1 il faut donc encore montrer la réciproque :
si k(z)=1 alors z appartient à G.

Pour la 2.c :
z=x+iy. On veut montrer qu'il existe z'=x'+iy' tel que 0<=y'<=x'<=1/2 et k(z)=k(z')

k(z+1)=k(z). Par récurrence immédiate k(z+n)=k(z) pour n entier relatif. Posons x'=x-E(x), E(x) est bien un entier relatif, donc k(x+iy)=k(x+iy-E(x))=k(x'+iy).

k(iz+1)=k(iz)=k(z)=k(i(iz+1))=k(-z+i)=k(z-i) idem récurrence -> k(z)=k(z+in) n entier relatif, même astuce y'=y-E(y)
Puis si y'>x' tu met un coup de i sur z' et tu as le résultat