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Ensembles et fonctions
Posté par juju34
Bonjour à tous 
Voila mon soucis est le suivant je ne comprend mon exercice, le voici:
Soit E un ensemble, et soit (A,B)
P(E). Soit f la fonction:
f: P(E) -> P(A)*P(B)
X -> (X
A, XB)
1) Donner un exemple avec E fini de cardinal 6, A et B parties de E de cardinaux
4 et 3 ayant deux éléments communs.
Pour cet exemple, f est-elle injective, surjective, bijective ?
2) Trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur A et B, en général,
pour que f soit:
a)injective
b)surjective
c)bijective
Voila en espérant que vous pourrez m'éclairer car je suis dans le noir complet. Merci d'avance
Bonjour
1) Prends E={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3,4}, B={2,4,5}.
Prends X={2,6} et Y={1,2,6} et calcule f(X) et f(Y); tu comprendras mieux...
Alors voila ce que j'ai trouvé avec tes explications, maintenant si c'est juste c'est une autre histoire^^:
1) f est injective car chaque éléments de A et B admettent au plus un antécédent dans E.
2) pour que f soit surjective il faudrait que chaque éléments de B trouve au moins un antécédent dans A.
Puis pour que f soit bijective il faucdrait chaque éléments de B trouve un seul élémént dans A et vice
versa.
Citation :
1) f est injective car chaque éléments de A et B admettent au plus un antécédent dans E.
1) f est injective car chaque éléments de A et B admettent au plus un antécédent dans E.
Euh, ta fonction va dans P(A)*P(B). Donc ça ne veut rien dire qu'un élément de A admet un antécédent ou non par f.
Les éléments de l'ensemble d'arrivée sont des éléments du produit cartésien de P(A) par P(B) : c'est-à-dire des couples (Q,R) avec Q une partie de A (autrement dit un élémément de P(A)) et R une partie de B (autrement dir un élément de PB)). Attention à ne pas tout se mélanger
Bon maintenant pour la 2), il faut raisonner comme suit :
a)Analyse
On suppose f injective : soient x et y des parties de E telles que f(x)=f(y)
alors x=y
On a donc :
(A toi de trouver les conclusions sur A et B)
Synthèse
On choisit A et B comme on les a trouvés par l'analyse, et on vérifie que f est injective (en éliminant le cas échéant les cas qui n'amène pas à l'injectivité).
Heuuu alors la je suis complètement perdu car pourquoi montrer la ou les conditions pour que f soit injective dans le 2) alors qu'on dit qu'elle est injective dans le 1) :s:s:s
C'est bon j'ai enfin reussi à le terminer après un très long moment de planchage, et il est vrai oui que ton exemple y a été pour beaucoup la, merci beaucoup ce votre aide^^