Niveau Licence Maths 1e ann

Ensembles et parties : différence symétrique

Posté par
Kernelpanic 28-09-17 à 18:42

Bonsoir,

j'ai trouvé un exercice pour m'entraîner sur Internet pour ce qui est de la notion de différence symétrique mais je bute sur une question qui me rend fou à force faire des schémas de parties. Voici l'énoncé :

"Soit E un ensemble, et soit A et B deux parties de E. On définit la différence symétrique entre A et B par A∆B= (A\B)∪(B\A).

Montrer que∀A∈P(E),∀B∈P(E),∃!C∈P(E), A∆C=B."

La seule solution que j'ai pu trouver et encore je doute de sa véracité étant donné que je n'arrive plus à réfléchir est que C=A ce qui est impossible en soit...

Merci de votre aide

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 28-09-17 à 19:16

1.
   Montre que si    A et B  sont   dans P(E) on a :   A = B  SSI  1_A =1_B (mod 2)  et que 1_AB =  1_A + 1_B (mod 2)  .

2.
   Soient A , B , C dans P(E) :
Les propriétés suivantes sont équivalentes

    .  A C = B

   ..1_A + 1 _C = 1_B (mod 2)

   ...1_C  =  1 _A + 1_B  = 1_AB (mod 2)

   ....C = AB .

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 28-09-17 à 22:48

Bonsoir Kernelpanic
Si tu ne souhaites pas utiliser les indicatrices mais les schémas de parties sur lesquels tu as cogité :

$\forall A,B \in \mathfrak P(E)~:~A\Delta B = (A \backslash B)\cup (B \backslash A) =(A \cup B) \backslash (A\cap B)~\text { et } B = (A\cup B) \backslash (A\backslash B)$

D'où :

$\begin {aligned} B = (A\cup B) \backslash (A\backslash B) & \Leftrightarrow B = (A \cup (A \Delta B)) \backslash (A \cap (A\Delta B)) \\ & \Leftrightarrow B = A\Delta (A\Delta B)\end {aligned}$

Par conséquent l'équation $A\Delta X = B$ admet une unique solution qui est $X=A\Delta B$

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 30-09-17 à 16:51

Excusez ma réponse tardive, je me suis concentré sur une autre matière et j'avais complétement oublié mon exercice. Je dois avouer que j'ai eu beaucoup de mal à comprendre la réponse de etnopial mais j'espère pouvoir un jour mieux comprendre quand nous arriverons à la partie des modulo dans les ensembles. En tout cas merci jsvdb j'ai parfaitement compris désormais ! Bonne soirée à vous deux

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 30-09-17 à 19:28

salut

en notant A* le contraire de A ...

avec les indicatrices je préfère l'écrire ainsi :

0/ $1_{A^*} = 1 - 1_A$                                                             passage au complémentaire

1/ $1_A \cdot 1_{A^*} = 0$    et   $1_A + 1_{A^*} = 1$                       intersection et union

2/ $1_{A \Delta B} = 1_A(1 - 1_B) + (1 - 1_A)1_B$

3/ $1_A = 1_B \iff A = B$

donc

$A \Delta X = B \iff 1_{A \Delta X} = 1 _B \iff 1_A(1 - 1_X) + (1 - 1_A)1_X = 1_B \iff (1 - 2 \cdot 1_A)1_X = 1_B - 1_A \iff _{\red (*)}  (2 \cdot 1_{A^*} - 1)(1 - 2 \cdot 1_A)1_X = (1_B - 1_A)(2 \cdot 1_{A^*} - 1) \\ \\ \iff 1_X = (1_B - 1_A) (1 - 2 \cdot 1_A) \iff 1_X = 1_B - 2 \cdot 1_A 1_B + 1_A = 1_A(1 - 1_B) + 1_A 1_B - 2 \cdot 1_A 1_B + 1_B \iff 1_X = 1_A(1 - 1_B) + 1_B(1 - 1_A) \iff \\ \\ 1_X = 1_{A \Delta B} \iff X = A \Delta B$     ouf !!!

(*)  :   je multiplie par l'inverse !!

on peut faire plus vite en connaissant les propriétés de la différence symétrique (DS)

1/ la DS est commutative et associative

2/ $A \Delta X = \O \iff X = A$

3/ $\O \Delta A = A$

et alors : $A \Delta X = B {\red \Longrightarrow} A \Delta (A \Delta X) = A \Delta X \iff (A \Delta A) \Delta X = A \Delta B \iff X = A \Delta B$

on vérife que cette solution convient

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 30-09-17 à 23:39

Je propose de réécrire ta dernière proposition logique comme ceci pour plus de clarté (on se bat assez avec les parenthèses)

$B = A \Delta X ~{\red \Longrightarrow}~( A \Delta B = A\Delta (A \Delta X) \iff A \Delta B =(A \Delta A) \Delta X \iff A \Delta B = X~)$

En tout cas, joli ! et vue sous cet angle ton implication en rouge devient une équivalence

Posté par re : Ensembles et parties : différence symétrique 01-10-17 à 01:50

Pour résumer les propriétés rappelées par carpediem, il résulte ceci :

Pour tout $E$ ensemble, $(\mathfrak P(E), \Delta)$ est un groupe commutatif de neutre $\O$ et $A^{-1} = A$
Ainsi l'équation $A \Delta X = B$ a pour unique solution $X = A \Delta B$ .

Il est amusant de noter que dans ce groupe, l'application $X \mapsto X^2=X\Delta X$ est l'application "nulle". On ne peut donc pas y définir d'application "racine".

Allez, pour le fun : résoudre $A\Delta X^2 \cup B\Delta X \cup C = \O$ ... _{(je sens des dents qui grincent : non mais n'importe quoi, (P(E),Delta, U) n'est pas un anneau, c'est quoi ton délire ?! ha ha ha ha, bah quoi, cette équation est légitime )}

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