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ensembles L1-MATHS-INFO
Posté par Rayane011
Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour simplifier cette expression :
(A\bigcap{}B\bigcap{C}) \bigcup{}(cA \bigcap{B}\bigcap{C})\bigcup{cB}\bigcup{cC}
* Le petit "c" désigne le complémentaire. (Je n'ai pas trouvé comment le faire sur le site).
Grâce à un dessin je sais que :
(A\bigcap{}B\bigcap{C}) \bigcup{}(cA \bigcap{B}\bigcap{C})\bigcup{cB}\bigcup{cC} = E
Merci de votre aide !
Le problème c'est que je ne sais pas comment m'y prendre. En utilisant les formules sur les ensembles ? Ou en introduisant une variable x mais c'est une technique je ne maîtrise clairement pas. En fait, cela paraît tellement logique que je ne sais pas comment le démontrer.
ha enfin !!!
donc que veut le dernier résultat de 19h35
PS : j'ai appelé E = B 
C ce que tu appelles l'univers (l'ensemble contenant A, B et C) d'après ton énoncé ... désolé
On a du coup , en partant du principe que E est l'univers. Du coup on pose D=
. Mais du coup je vois c'est valable comme simplification ? Introduire l'univers dans l'expression ça se fait ?
Mais du coup j'ai :
avec * le complémentaire
X inter E = X !
Du coup si je reviens à mon problème :
B inter C union cB union cC = E (c'est évident pas besoin de le démontrer ?)
CQFD.
Attention !
B inter C union cB union cC
n'a aucun sens si tu ne parenthèses pas (quelle priorité entre intersection et union ???).
Il s'agit de
et là tu peux utiliser soit la distributivité de par rapport à
, soit remarquer que
est le complémentaire de ...
Oui pardon sur papier j'ai bien les parenthèses et en effet on remarque que :
(cC U cB) = (C inter B)c
du coup on a (B inter C) U (C inter B)c = E (d'après les lois de morgan)
car A U Ac = E
Voila.
Ne jamais dire "c'est évident". Trop souvent, ça cache le fait qu'on n'arrive pas à formuler l'argument adéquat. 