Bonjour
Je conjecture que ce nombre est .  Reste  à le prouver

Comment avez vous fait ?

Bonjour,

Plutôt

Puis je avoir des éclaircissements

Bonjour @lake : On a clairement

Pour vérifier que la conjecture est correcte tu peux utiliser  la   moyenne géométrique.

On peut dans un premier temps maximiser la fonction avec la contrainte puis regarder les solutions entières.
Autrement dit, étudier .

Cela montre que si une solution est meilleure que ce que j'ai donné,   elle comporte un nombre  n de facteur  au moins égal  à 494.  

Désolé, j'ai mal lu l'énoncé.

Bonjour
J'ai pas vu l'indication de @jsvdb  mais ce qu'il propose doit  fonctionner très bien.
Puisque le maximum est atteint  quand  la moyenne arithmétique =  la moyenne géométrique.

jsvdb
Cette fonction est indéfiniment croissante...

Si  une solution     est meilleure que celle que je propose  
alors  nécessairement   (j'ai utilisé moyenne géométrique <= moyenne arithmétique).  
Cette inéquation montre que   
Je te laisse finir la vérification de la conjecture.

Bonjour tout le monde,

L'objectif est de déterminer



Non ?

Je ne vois pas le rapport avec ceci Entier dû à jsvdb, que je salue au passage.

Bonsoir à tous.
Comme le suggèreXZ19, il y a une autre solution : 4⁴⁹⁴.

Bonjour @verdurin n'a-t-on pas ?

D'accord pour la première égalité, mais pas pour la seconde.

@ThierryPoma Bonjour,
Oui, c'est ça, et ce que je proposais n'était qu'une piste : le cas où tes sont tous égaux à un certain . Dans ce ca s'écrit .
Mais c'est assez bancale comme piste.

oops @verdurin, c'est vrai ... il aurait fallu que 988 fut divisible par 3.

En fait j'ai eu un exercice de genre en première ou en terminale ( je ne sais plus ).

Un raisonnement direct montre que l'on ne doit pas prendre d'entiers plus grands que 4.
Par exemple en remplaçant 5 par 2+3 le résultat de la multiplication est plus grand car 23>5.
Il est immédiat qu'il ne faut pas prendre de 1.

La somme comporte donc uniquement des 2, des 3 et des 4.
Et il faut mettre le maximum possible de 3.
En effet 3+3=6 et 2+2+2=6 mais 33>222.

On voit donc que le maximum possible n'a pas encore été proposé.
Je l'ai laissé en blanc.

Rebonjour  
Pour finir la démonstration  on peut éliminer la possibilité d'avoir des  4. En effet  remplacer  4 par 2+2  ne change pas le produit. On évite les 1 de façon évidente.  

Maintenant  puisque  n est compris entre 494 et  988, n=494  ou n=998 étant étudés
il faut regarder si un  entier n  strictement compris entre  
494 et  998     ne conduirait pas à un meilleur  résultat conduise au meilleur entier

Mais   aucun entier n  strictement compris entre  
494 et  998  ne divise  pas 1976  et      on a    2<1976/n<4

Ce qui signifie  que  le produit sera optimal s'il ne contient que des 2 et  des 3.   ....

quelques petits   calculs semblent  donner  
qui est plus grand que

Bon j'ai été un peu vite  mais il faut vérifier les détails..

Bon j'ai pas vu le message de @verdurin  mais bon on ne se contredit pas.

Personnellement, je mes suis contentée de faire la division euclidienne de 1976 par 3

Je me suis

@XZ19,
Je croyais que ton message répondait à celui de verdurin

Et bien non en fait je suis parti d'une conjecture  donc je n'avais pas la solution
Alors le temps de chercher à justifier et de voir qu'il y a mieux et d'écrire, et bien on ne voit pas  que ça avance  parallèlement .
P.S  Marrant ce petit exo.

Salut XZ19.
En fait il est « élémentaire » : un élève en fin de primaire a, en principe, toutes les connaissances nécessaire pour le résoudre.
Mais il est difficile, je m'en souviens parce que j'ai cherché assez longtemps.
Je crois que c'est ce qui caractérise les exercices « marrants ».

Ps :
_{tu as écrit un peu n'importe quoi comme valeurs numériques à la fin de ton message de 17h58.
Mais ça ne change pas le raisonnement.}

Une généralisation et une étude du problème ici Partition et optimisation

Il semble d'après cette étude que comme alors le nombre cherché est bien

Tandis que si cela avait été alors le nombre cherché aurait été
Et pour , le nombre cherché est

*Erratum : Et pour , le nombre cherché est

salut

j'arrive après le combat et c'est un "grand"  classique que l'on retrouve régulièrement sur (mais je ne vais rechercher les sujets dont un où je sais avoir déjà donner la réponse)

en fait pour donner quelques explications de base à emmanuel2002 tout part du trinome et les exo classique que l'on donne en seconde : aire maximale d'une surface à grillager avec un grillage de longueur fixe donc aire (rectangulaire) maximale à périmètre constant (avec toutes les variantes classiques où l'un des côtés est un mur ou une rivière "infranchissable, ou ...)

le produit de deux nombres de somme constante est maximal lorsque ces deux nombres sont égaux (sommet de la parabole bras en bas) et que l'on généralise aux produits de n entiers avec les remarques de verdurin

2 * 3 > 5
3 * 4 > 5 * 2

d'ailleurs on montre plus généralement que :

dans les entiers ...

donc si un entier m > 3 apparait dans le produit on peut le transformer en :

4 = 2 + 2 (ne change pas le produit)
5 = 2 + 3 (augmente le produit)
6 = 3 + 3 (augmente le produit)

et plus généralement remplacer m en effectuant sa division euclidienne par 3

car on a aussi 6 = 2 + 2 + 2 mais 2 * 2 * 2 < 3 * 3

il me semble que tout cela vient de l'extrême croissance de la fonction exponentielle et que 3 est plus proche de e que 2

en cherchant comme ça sur le net j'ai trouvé ces deux choses :

Enigmo 43 : Produit maximal des termes d'une somme

dans les deux cas on y retrouve la fonction

qui finalement donnent toutes les réponses .... (mais je ne retrouve plus celui où j'étais intervenu ...)

tiens j'ai encore trouvé cela :

Joli