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Eqaurtions de nombres complexes

Posté par
manphi 18-01-09 à 10:19


Bonjour,

Je dois trouver z tel que (6z^2+3z-1)^2 - (6z^2+3z-1)(3z^2+6z+1) + (3z^2+6z+1)^2 = 0

J'ai essayé de le développer mais j'arrive à des trucs astronomiques !!

Ensuite, j'ai dit que c'était de la forme (A - B)^2 + AB mais je n'aboutis à rien.

Avez-vous une petite idéee qui me débloquerait ?

Merci.

Posté par
raymond Correcteurre : Eqaurtions de nombres complexes 18-01-09 à 10:41

Bonjour.

L'expression s'écrit aussi A² - AB + B².

Elle se factorise : A² - AB + B² = (A + jB)(A + j²B)

Posté par
manphire : Eqaurtions de nombres complexes 18-01-09 à 15:41


Ok mais c'est après que ça se complique car j'aboutis à un système que je n'arrive pas à résoudre !

Posté par
raymond Correcteurre : Eqaurtions de nombres complexes 18-01-09 à 16:10

Remplace A par 6z² + 3z - 1 et B par 6z² + 3z - 1 et écris que :

A + jB = 0 ou A + j²B = 0

Je te rappelle que j = e^{\fra{2i\pi}{3}}.

Donc, en particulier : j + j² = -1 et j3 = 1.

Posté par
manphire : Eqaurtions de nombres complexes 19-01-09 à 18:56


J'ai fait (A+jB)=0 ce qui donne une équation du 2nd degré en z à savoir 3z^2(2+j) + 3z(1+2j) +(j-1) =0
Ce polynôme en z a 2 racines z1=\frac{-j}{(2+j) et z2 = \frac{-1-j}{(2+j)}

J'ai fait pareil pour (A+\bar{j}B) et je trouve z3 et Z4

Mais le corrigé ne trouve pas la même chose que moi !!

Où me trompe-je ?

Posté par
raymond Correcteurre : Eqaurtions de nombres complexes 19-01-09 à 19:26

Je trouve les mêmes racines.

La différence avec le corrigé vient certainement du fait que l'on peut encore multiplier numérteur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur.

\bar{2+j} \ = \ 2+\bar j \ = \ 2+j^2


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