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Equation

Posté par
sami-dh 12-01-09 à 01:02

Salut à tous
Je voudrai bien un coup de main pour résoudre cette question:
Après avoir trouvé que les solutions de l'équation Z^{2n}-Z^n+1=0 sont e^{i(\frac{\pi}{3n}+\frac{2k\pi}{n})et e^{-i(\frac{\pi}{3n}+\frac{2k\pi}{n}) et après avoir aussi démontré que pour tout a de IR-{2kpi}:\frac{cos(a)+isin(a)+1}{cos(a)+isin{a}-1}=-i\times cotan\frac{a}{2} je veux savoir comment résoudre ces deux questions:

1)résoudre dans C l'équation : (\frac{z-1}{z+1})^n+(\frac{z+1}{z-1})^n=1

j'ai remarqué qu'on peu passer par la premiere equation en posant Z=\frac{z-1}{z+1} j'ai \frac{\pi}{3n}+\frac{2k\pi}{n}=2k\pi et \frac{\pi}{3n}+\frac{2k\pi}{n}=-2k\pi et aussi cotan(a/2)=sin(\frac{\pi}{3n}+\frac{2k\pi}{n} et je ne sais pas comment avancer...

2)Soit A le point d'affixe 1.démontrer que les solutions de l'équation précédente sont formées par l'intersection des droite (AM) avec l'axe (OY).tel que M appartient à l'ensemble des images des racines n-iéme des nombres u=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} et v=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}

Merci pour l'aide

A+

Posté par
sami-dhre : Equation 12-01-09 à 12:19

Salut
de l'aide svp ^^

Merci

Posté par
dhaltere : Equation 12-01-09 à 12:29

(\frac{z-1}{z+1})^n+(\frac{z+1}{z-1})^n=1

Z^n+(\frac{1}{Z})^n=1

et en multipliant par Z^n

Z^{2n}-Z^n + 1=0

Et ensuite
z=-\frac{Z+1}{Z-1}, Z=e^{(ia)}

z=i\text{cotan}(\frac{a}2)

z est un imaginaire pur, donc sur l'axe des ordonnées.
Les différentes valeurs de Z sont les racines dont parle ton énoncé.

Utilise Thalès pour montrer que z=\frac{Img(Z)}{1-Reel(Z)} et revenir à l'expression de la cotangente.

Posté par
sami-dhre : Equation 12-01-09 à 13:40

Salut
Je vous remercie pour l'aide
bon tout est clair,sauf pour la derniere remarque qui parle de Thalès...comment l'utiliser car je ne vois pas trop quel triangle il faut choisir.. puis vous avez dit que z est imaginaire pur donc pourquoi il y a dans la formule z=im(z)/1-re(z) car on peut directement écrire z=re(z) non ?
et enfin je me retrouve avec IM(z)=cotan(a/2) donc en supposant que IM(z)=y on aura y.sin(a/2)=cos(a/2)...faut il encore avancer ?

Merci

A+

Posté par
dhaltere : Equation 12-01-09 à 14:13

petit z est imaginaire pur
img(grand Z) et reel(grand Z)


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